E - y^(' ') + (x - 2)/(x^2 - x) y^' = 0 , 0 < x < 1

Passo 1

Ora, pela teoria, sabemos que podemos encontrar a solução de EDO de segunda ordem, linear, homogênea, coeficientes variáveis e ainda com o termo de que multiplica y zerado dessa forma aqui:

u = y '

Então como u^' = y ' ' , podemos substituir na nossa equação:

y^(' ') + (x - 2)/(x^2 - x) y^' = 0 ->

u^' + (x - 2)/(x^2 - x) u^() = 0

EPA! Chegamos a uma equação linear de primeira ordem homogênea que conseguimos resolver sabendo que:

u = A e^(- int (x - 2)/(x^2 - x) d x)

Passo 2

Vamos integrar então!

int (x - 2)/(x^2 - x) d x

Colocando x em evidência no denominador...

int (x - 2)/(x (x - 1)) d x =

Veja que se a gente adicionar x e tirar x ao mesmo tempo...

int (2 x - 2 - x)/(x (x - 1)) d x =

Poderemos separar em duas frações:

int (2 (x - 1))/(x (x - 1)) - (x)/(x (x - 1)) d x =

int (2)/(x) - (1)/((x - 1)) d x =

Integrando...

2 ln |x| - ln |x - 1| + C =

ln |(x^2)/(x - 1)| + C

Então, jogando esse resultado sem essa constante de integração na nossa solução de u :

u = A e^(- (ln |(x^2)/(x - 1)|)) ->

u = A e^(ln |(x^2)/(x - 1)|^(- 1)) ->

u = A ((x^2)/(x - 1))^(- 1) ->

u = A ((x - 1)/(x^2))

Ótimo! Porque como y ' é u , vamos precisar integrar:

y^' = u ->

y = int A ((x - 1)/(x^2)) d x ->

y = A int (1)/(x) - (1)/(x^2) d x ->

Integrando então...

y = A (ln |x| - ln |x^2|) + B

y = A (ln |(1)/(x)|) + B

Como x é positivo (ele varia de 0 a 1 ) então...

y = A ln ((1)/(x)) + B

Resposta

y = A ln ((1)/(x)) + B

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