Determine uma família de curvas que seja ortogonal à família dada.

b )   x y = c

Passo 1

Começamos a resolução derivando a equação dada:

y + x d y d x = 0

Rearranjando:

d y d x = - y x

Passo 2

Já encontramos a inclinação da família de hipérboles. Sabemos que o coeficiente angular da família de curvas ortogonais vai ser:

y ' = - 1 y '

Pois esse é o pré-requisito para termos uma curva que faça 90° com as nossas curvas iniciais. Então temos que fazer:

d y d x = - 1 - y x = x y

Passo 3

Perceba que agora chegamos um uma EDO separável, e basta integrar os dois lados para encontrar a nossa curva:

y   d y = x   d x

Integrando, obtemos:

y 2 2 = x 2 2 + c

y 2 - x 2 2 = c

Como c é uma constante, temos:

y 2 - x 2 = c

Resposta

y 2 - x 2 = c

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