Determine uma família de curvas que seja ortogonal à família dada.

c )   x 2 y - x 2 = c ,   x > 0

Passo 1

Começamos a resolução derivando a equação dada:

2 x y + x 2 d y d x   - 2 x = 0

Rearranjando:

d y d x = 2 x - 2 x y x 2 = 2 - 2 y x

Passo 2

Já encontramos a inclinação da família de hipérboles. Sabemos que o coeficiente angular da família de curvas ortogonais vai ser:

y ' = - 1 y '

Pois esse é o pré-requisito para termos uma curva que faça 90° com as nossas curvas iniciais. Então temos que fazer:

d y d x = - 1 2 - 2 y x = - x 2 - 2 y

Passo 3

Perceba que agora chegamos um uma EDO separável, e basta integrar os dois lados para encontrar a nossa curva:

2 - 2 y d y = - x   d x

Integrando, obtemos:

2 y - y 2 = - x 2 2 + c

2 y - y 2 + x 2 2 = c

x 2 + 4 y - 2 y 2 2 = c

Como c é uma constante, temos:

x 2 + 4 y - 2 y 2 = c

Resposta

x 2 + 4 y - 2 y 2 = c

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