Determine uma função y = f ( x ) definida num intervalo I , cujo gráfico passe pelo ponto 0 , 4 5 , tal que, para todo t ∈ I ,   t > 0 , a área da superfície obtida girando, em torno do eixo x , o gráfico da função y = f x ,   0 ≤ x ≤ t , seja igual a 2 π t .

Passo 1

Analisando o enunciado, temos uma área de superfície giratória igual a 2 π t , então:

2 π ∫ 0 t y 1 + d y d x 2 d x = 2 π t

2 π t y 1 + d y d x 2 = 2 π t

Logo:

y 1 + d y d x 2 = 1

d y d x = 1 - y 2 y 2 = 1 - y 2 y

Separando as variáveis:

y 1 - y 2 d y = d x

∫ y 1 - y 2 d y = ∫ d x

Integrando:

- 1 - y 2 = x + c

Passo 2

Aplicando a condição 0 , 4 5 :

- 1 - 4 5 2 = 0 + c

c = - 1 - 16 25

c = - 9 25 = - 3 5  

Logo:

- 1 - y 2 = x - 3 5

Isolando y , temos a função desejada:

y = 1 - 3 5 - x 2  

Resposta

y = 1 - 3 5 - x 2

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