Determine uma família de curvas que seja ortogonal à família dada.

d )   x 2 + 2 x y - y 2 = c

Passo 1

Começamos a resolução derivando a equação dada:

2 x + 2 y + 2 x d y d x - 2 y d y d x = 0

2 x + 2 y + 2 x - 2 y d y d x = 0  

Rearranjando:

d y d x = - 2 x + 2 y 2 x - 2 y = - x + y x - y

Passo 2

Já encontramos a inclinação da família de hipérboles. Sabemos que o coeficiente angular da família de curvas ortogonais vai ser:

y ' = - 1 y '

Pois esse é o pré-requisito para termos uma curva que faça 90° com as nossas curvas iniciais. Então temos que fazer:

d y d x = - 1 - x + y x - y = x - y x + y

Passo 3

Perceba que agora chegamos um uma EDO separável, e basta integrar os dois lados para encontrar a nossa curva:

x + y d y = ( x - y )   d x

Integrando, obtemos:

x y + y 2 2 = x 2 2 - x y + c

Os termos em comum são apenas considerados uma única vez:

y 2 2 + x y - x 2 2 = c

y 2 + 2 x y - x 2 2 = c

Como c é uma constante, temos:

y 2 + 2 x y - x 2 = c

Resposta

y 2 + 2 x y - x 2 = c

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