Determine n   de modo que ∑ k = 1 n 1 k   2 k   seja um valor aproximado de l n ⁡ ( 2 ) com erro, em módulo, inferior a 10 - 5 .

Passo 1

No exercício 6b, foi demonstrado que o erro em módulo é:

ln ⁡ 1 - α + ∑ k = 1 n α k k   ≤ α n + 1 ( n + 1 ) ( 1 - α )

Passo 2

Sabemos que:

ln ⁡ 1 - α = - ∑ k = 1 ∞ α k k

Portanto, para

ln ⁡ 2 = - ln ⁡ 1 2 = - ln ⁡ 1 - 1 2 = ∑ k = 1 ∞ 1 k   2 k

Passo 3

Logo,

ln ⁡ 1 - 1 2 + ∑ k = 1 n 1 k   2 k ≤ 1 2 n + 1 n + 1 1 - 1 2 = 1 2 n n + 1

Como o erro em módulo deve ser menor do que 10 - 5 , podemos dizer que:

1 2 n n + 1 < 10 - 5 → 2 n n + 1 > 10 5

Por tentativas:

n ≥ 13 .

Resposta

Então, concluímos que para ln ⁡ 1 2 + ∑ k = 1 n 1 k   2 k ≤ 10 - 5 , n ≥ 13 .

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