Calcule, caso exista, underset(n -> + oo)(lim) a_n , sendo:

a_n = n [1 - ((n + 1)^n)/(e n^n)]

Passo 1

O termo geral a_n pode ainda ser reescrito como

a_n = n - (n (n + 1)^n)/(e n^n) = (n e n^n - n (n + 1)^n)/(e n^n) = (1 - (1)/(e) (1 + (1)/(n))^n)/((1)/(n))

Se chamarmos u = (1)/(n)

a_n = (e - (1 + u)^((1)/(u)))/(e u)

Passo 2

Aplicando o limite no termo geral

underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(n -> + oo)(l i m) n [1 - ((n + 1)^n)/(e n^n)]

Que devido a substituição de u pode ser reescrito como

underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(u -> 0^+)(l i m) (e - (1 + u)^((1)/(u)))/(e u) = (0)/(0)

Que é uma indeterminação, para que possamos resolver este limite vamos aplicar a regra de L’Hospital.

underset(u -> 0^+)(l i m) (e - (1 + u)^((1)/(u)))/(e u) -> underset(u -> 0^+)(l i m) (- ln (1 + u))/(2 u) = (0)/(0)

Novamente aplicamos L’Hospital

underset(u -> 0^+)(l i m) (- ln (1 + u))/(2 u) -> underset(u -> 0^+)(l i m) (- 1)/(2 (1 + u)) = - (1)/(2)

Passo 3

Logo o limite será

underset(n -> + oo)(lim) a_n = underset(n -> oo)(lim) n [- ((n + 1)^n)/(e n)] = underset(n -> oo)(l i m) (e - (1 + u)^((1)/(u)))/(e u) = (- 1) * (- (1)/(2)) = (1)/(2)

underset(n -> + oo)(lim) a_n = (1)/(2)

Resposta

underset(n -> + oo)(lim) a_n = (1)/(2)

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