2. Determine y = y ( x ) que satisfaça as condições dadas.

a) (d y)/(d x) = e^y e y (0) = 1

Passo 1

Utilizando o método de separação de variáveis podemos reescrever a EDO da seguinte forma:

(d y)/(e^y) = d x

Integrando em ambos os lados, vem

int (d y)/(e^y) = int d x

Passo 2

Sendo assim, nos resta resolver a integral do lado esquerdo da igualdade para eliminarmos grande parte do nosso problema, para isso:

int (d y)/(e^y) = int e^(- y) d y

Fazendo uma substituição, temos que

u = - y -> d u = - d y

Sendo assim,

int e^(- y) d y = - int e^u d u = - e^u

Logo,

int e^(- y) d y = - e^(- y)

Voltando ao probelama,

int (d y)/(e^y) = int d x

- e^(- y) = x + c_1

- (ln e^(- y)) = l n ( x + c_1 )

- (- y) = ln ( x + c_1 )

y (x) = ln ( x + c_1 )

Passo 3

Utilizando a condição de contor dada para encontrar quem é c_1 chegamos em,

y (0) = ln (0 + c_1) = 1

c_1 = e

Portanto,

y (x) = ln ( x + e )

Resposta

y (x) = ln ( x + e )

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