5. Mostre que

a) ln 3 = sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) (1)/(k) ((2)/(5^k) + (2)/(4^k) + (1)/(3^k))

( sugestão: ln 3 = ln 2 + ln (6)/(5) + ln (5)/(4) )

Passo 1

Temos da sugestão,

ln 3 = ln 2 + ln (6)/(5) + ln (5)/(4)

Como sabemos do exercício 4, ln 2 = ln (6)/(5) + ln (5)/(4) + ln (4)/(3) , sendo assim podemos substituir acima:

ln 3 = ln (6)/(5) + ln (5)/(4) + ln (4)/(3) + ln (6)/(5) + ln (5)/(4) = 2 ln (6)/(5) + 2 ln (5)/(4) + ln (4)/(3)

Dai,

ln 3 = sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) (2)/(k . 5^k) + sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) (2)/(k . 4^k) + sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) (1)/(k . 3^k)

Ou seja,

ln 3 = sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) (1)/(k) ((2)/(5^k) + (2)/(4^k) + (1)/(3^k))

Resposta

ln 3 = sum_(k = 1)^(oo) (- 1)^(k + 1) (1)/(k) ((2)/(5^k) + (2)/(4^k) + (1)/(3^k))

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