1. Determine a série de Fourier das funções dada

e ) {[[0 , s e - pi <= x <= - 1],[x + 1 , s e - 1 < x < 0],[1 , s e 0 <= x <= pi]])

Passo 1

Ora bolinhas, sabemos que a série de Fourier pode ser encontrada dessa maneira aqui:

f (x) = (a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) a_n cos ((n pi x)/(L)) + b_n sin ((n pi x)/(L))

Onde a_n , a_0 e b_n são todos coeficiente de Fourier encontrados por integrais:

a_n = (1)/(L) int_(- L)^L f (x) cos (n pi x)/(L) d x

b_n = (1)/(L) int_(- L)^L f (x) sin (n pi x)/(L) d x

a_0 = (1)/(L) int_(- L)^L f (x) d x

Então o trabalho maior aqui será integrar mesmo, saca? Bora lá então?

Passo 2

Vamos primeiro calcular o a_0 ! Substituindo o L por pi (já que a nossa função f de integração está definida de - pi a pi ):

a_0 = (1)/(pi) int_(- pi)^(pi) f (x) d x ->

Só que a nossa função tem uma definição por partes, logo devemos separar essa integral em três:

a_0 = (1)/(pi) [int_(- pi)^(- 1) (0) d x + int_(- 1)^0 (x + 1) d x + int_0^(pi) (1) d x] ->

Integrando...

a_0 = (1)/(pi) [((x^2)/(2) + x)_(- 1)^0 + (x)_0^(pi)] ->

E agora substituindo os limites...

a_0 = (1)/(pi) [(0 - (((- 1)^2)/(2) - 1)) + pi] ->

a_0 = (2 pi + 1)/(2 pi)

MOLEZA! Né?

Passo 3

O b_n vai dá um pouquinho mais de trabalho, pois aqui vamos ter o seno junto da função f :

b_n = (1)/(L) int_(- L)^L f (x) sin (n pi x)/(L) d x ->

b_n = (1)/(pi) [int_(- pi)^(- 1) 0 d x + int_(- 1)^0 (x + 1) sin (n pi x)/(pi) d x + int_0^(pi) sin (n pi x)/(pi) d x] ->

b_n = (1)/(pi) [int_(- 1)^0 (x + 1) sin n x d x + int_0^(pi) sin n x d x] ->

Repare que essa última integral aí é moleza comparada à primeira:

b_n = (1)/(pi) [int_(- 1)^0 (x + 1) sin n x d x + (- (cos n x)/(n))_0^(pi)]

Pois a primeira, vai nos demandar uma integração por partes, saca? Para isso, vamos em outro passo apenas por uma questão de organização!

Passo 4

int_()^() (x + 1) sin n x d x

Substituindo então o x + 1 por u e sin n x d x de d v ...

u = x + 1 e d v = sin n x d x

Derivando o u e integrando o d v ...

d u = d x e v = - (cos n x)/(n)

Por integração por partes sabemos que...

int_()^() (x + 1) sin n x d x = - (x + 1) (cos n x)/(n) - int_()^() - (cos n x)/(n) d x ->

int_()^() (x + 1) sin n x d x = - (x + 1) (cos n x)/(n) + (1)/(n) int_()^() cos (n pi) d x ->

int_()^() (x + 1) sin n x d x = - (x + 1) (cos n x)/(n) + (1)/(n^2) sin (n pi)

Então, finalmente com esse resultado na manga, podemos retornar ao cálculo de b_n ...

b_n = (1)/(pi) [(- (x + 1) (cos n x)/(n) + (1)/(n^2) sin (n pi))_(- 1)^0 + (- (cos n x)/(n))_0^(pi)] ->

E finalmente substituir os limites de integração (nas duas):

b_n = (1)/(pi) [(- (0 + 1) (cos 0)/(n) + (1)/(n^2) sin (0) - (- (- 1 + 1) (cos (- n))/(n) + (1)/(n^2) sin (- n))) + (- (cos n pi)/(n) - (- (cos 0)/(n)))] ->

ORA! Quem é cos (n pi) ? SIM! Pela teoria sabemos que é a mesma coisa que (- 1)^n . Não se esqueça de que cos 0 = 1 e sin 0 = 0 :

b_n = (1)/(pi) [(- (1)/(n) - (+ (1)/(n^2) sin (- n))) + (- (cos n pi)/(n) - (- (1)/(n)))] ->

b_n = (1)/(pi) [(- (1)/(n) - (1)/(n^2) sin (- n)) + (- ((- 1)^n)/(n) + (1)/(n))] ->

b_n = (1)/(pi) [- (1)/(n^2) sin (- n) - ((- 1)^n)/(n)]

Passo 5

Beleza! Então estamos quase lá! Mas ainda nos falta a integral que define o a_n :

a_n = (1)/(L) int_(- L)^L f (x) cos (n pi x)/(L) d x

De forma análogo, podemos substituir e calcular a última integral...

a_n = (1)/(pi) [int_(- 1)^0 (x + 1) cos n x d x + int_0^(pi) cos n x d x] ->

a_n = (1)/(pi) [int_(- 1)^0 (x + 1) cos n x d x + ((sin (n x))/(n))_0^(pi)] ->

Quanto a primeira, novamente temos que calcular fazendo uma integração por partes. Para sermos mais rápidos, já que já viu comigo como calcular isso, aqui já está o resultado dessa integração chata:

int_()^() (x + 1) cos n x d x = (x + 1) (sin (n x))/(n) + (cos (n x))/(n^2)

Substituindo em a_n ...

a_n = (1)/(pi) [((x + 1) (sin (n x))/(n) + (cos (n x))/(n^2))_(- 1)^0 + ((sin (n x))/(n))_0^(pi)] ->

a_n = (1)/(pi) [((1) (sin 0)/(n) + (cos 0)/(n^2)) - (0 + (cos (- n))/(n^2)) + ((sin (n pi))/(n)) - ((sin (0))/(n))] ->

E simplificando agora...

a_n = (1)/(pi) [((1)/(n^2)) - ((cos (- n))/(n^2))] ->

a_n = (1)/(pi) [- (1)/(n^2) cos (- n) + (1)/(n^2)]

Passo 6

SHOW! Finalmente podemos voltar para a etapa inicial onde definimos o que queríamos encontrar: a série de Fourier

f (x) = (a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) a_n cos ((n pi x)/(L)) + b_n sin ((n pi x)/(L)) ->

Substituindo os caras que acabamos de encontrar nos últimos passos...

f (x) = ((2 pi + 1)/(2 pi))/(2) + sum_(n = 1)^(oo) (1)/(pi) [- (1)/(n^2) cos (- n) + (1)/(n^2)] cos ((n pi x)/(L)) + (1)/(pi) [- (1)/(n^2) sin (- n) - ((- 1)^n)/(n)] sin ((n pi x)/(L)) ->

E dando uma “arrumada na casa”:

f (x) = (2 pi + 1)/(4 pi) + (1)/(pi) sum_(n = 1)^(oo) [- (1)/(n^2) cos (- n) + (1)/(n^2)] cos ((n pi x)/(L)) + [- (1)/(n^2) sin (- n) - ((- 1)^n)/(n)] sin ((n pi x)/(L))

Prontinho! Aí está ele . Nos vemos na próxima!

Resposta

f (x) = (2 pi + 1)/(4 pi) + (1)/(pi) sum_(n = 1)^(oo) [- (1)/(n^2) cos (- n) + (1)/(n^2)] cos ((n pi x)/(L)) + [- (1)/(n^2) sin (- n) - ((- 1)^n)/(n)] sin ((n pi x)/(L))

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