1. Determine a série de Fourier das funções dada
Passo 1
Ora bolinhas, sabemos que a série de Fourier pode ser encontrada dessa maneira aqui:
Onde e são todos coeficiente de Fourier encontrados por integrais:
Então o trabalho maior aqui será integrar mesmo, saca? Bora lá então?
Passo 2
Vamos primeiro calcular o ! Substituindo o por (já que a nossa função de integração está definida de a ):
Só que a nossa função tem uma definição por partes, logo devemos separar essa integral em três:
Integrando...
E agora substituindo os limites...
MOLEZA! Né?
Passo 3
O vai dá um pouquinho mais de trabalho, pois aqui vamos ter o seno junto da função :
Repare que essa última integral aí é moleza comparada à primeira:
Pois a primeira, vai nos demandar uma integração por partes, saca? Para isso, vamos em outro passo apenas por uma questão de organização!
Passo 4
Substituindo então o por e de ...
Derivando o e integrando o ...
Por integração por partes sabemos que...
Então, finalmente com esse resultado na manga, podemos retornar ao cálculo de ...
E finalmente substituir os limites de integração (nas duas):
ORA! Quem é ? SIM! Pela teoria sabemos que é a mesma coisa que . Não se esqueça de que e :
Passo 5
Beleza! Então estamos quase lá! Mas ainda nos falta a integral que define o :
De forma análogo, podemos substituir e calcular a última integral...
Quanto a primeira, novamente temos que calcular fazendo uma integração por partes. Para sermos mais rápidos, já que já viu comigo como calcular isso, aqui já está o resultado dessa integração chata:
Substituindo em ...
E simplificando agora...
Passo 6
SHOW! Finalmente podemos voltar para a etapa inicial onde definimos o que queríamos encontrar: a série de Fourier
Substituindo os caras que acabamos de encontrar nos últimos passos...
E dando uma “arrumada na casa”:
Prontinho! Aí está ele . Nos vemos na próxima!