Resolva

{[[overset(˙)(x) = x - 2 y],[overset(˙)(y) = 2 x + y]])

Passo 1

Nesse problema vamos aplicar os casos mostrados no capítulo para encontrarmos as soluções gerais da nossa EDO. Vamos precisar lembrar como se calcula os autovalores e autovetores associados, pela relação:

([[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]) = 0 (a u t o v a l o r e s)

e

([[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]) * ([[m],[n]]) = 0 ( a u t o v e t o r e s )

Passo 2

Bem, como dito no passo 1, vamos começar analisando nosso sistema: como a_12 e a_21 são diferentes de zero, caíremos pro caso 2 ou 3 vistos no livro. Vamos calcular os autovalores para ver.

|[[a_11,-,lambda,a_12],[a_21,a_22,-,lambda]]| = |[[1,-,lambda,-,2],[2,1,-,lambda]]| = 0

lambda^2 - 2 lambda + 5 = 0

Resolvendo por bhaskara, vamos chegar que lambda_1 = 1 + 2 i e lambda_2 = 1 - 2 i . Então caímos no caso 2, onde os autovalores são diferentes. Calculando nossos autovetores para lambda_1 então, teremos que:

([[-,2,i,-,2],[2,-,2,i]]) * ([[m],[n]]) = 0

- 2 i m - 2 n = 0

2 m - 2 i n = 0

Se multiplicarmos a primeira equação por i , vamos chegar na segunda, assim temos que ambas as relações são equivalentes a:

2 m - 2 i n = 0

m = i n

Para n = 1 , temos que m = i . Assim, nosso autovetor é:

[[[i],[1]]]

Assim

[[[x],[y]]] = [[[i],[1]]] e^((1 + 2 i) t)

é uma solução. Como:

e^((1 + 2 i) t) = e^t (cos 2 t + i sin 2 t)

Temos que:

{[[x = e^t (cos 2 t + i sin 2 t)],[y = e^t (- sin 2 t + i cos 2 t)]]) .

Pelo exemplo 5, temos que:

[[[cos 2 t],[- sin 2 t]]] e^t e [[[sin 2 t],[cos 2 t]]] e^t

Também são soluções do nosso sistema. Assim, nossa solução geral para a EDO fica:

[[[x],[y]]] = k_1 [[[cos 2 t],[- sin 2 t]]] e^t + k_2 [[[sin 2 t],[cos 2 t]]] e^t .

Resposta

[[[x],[y]]] = k_1 [[[cos 2 t],[- sin 2 t]]] e^t + k_2 [[[sin 2 t],[cos 2 t]]] e^t

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