Determine a solução geral:

  1. (d^4 x)/(d t^4) + 2 (d^2 x)/(d t^2) + x = 0

Passo 1

Perceba que temos uma EDL homogênea de grau 4, podemos novamente utilizar as equações auxiliares para encontrar uma solução geral:

Seja então a seguinte equação auxiliar:

m^4 + 2 m^2 + 1 = 0

Perceba, que se m^2 = - 1 , teremos:

(- 1)^2 + 2 (- 1) + 1 = 0

Isso implica que

m = sqrt(- 1) = +- 1 i

Então m_1 = - i e m_2 = + i são raízes da equação, com a = 0 e b = 1

Passo 2

Se aplicarmo Briot-Ruffini para ambas as raízes, chegaremos na seguinte euação de segundo grau:

m^2 + 1 = 0

Isso implica que encontramos mais duas raízes complexas:

m_3 = m_1 = - i e m_4 = m_2 = + i

Novamente, a = 0 e b = 1

Passo 3

Perceba que temos 4 raízes complexas, para facilitar vamos toma-las duas a duas:

  1. m_1 e m_2 :

x (t) = e^(a t) [C_1 cos (b t) + C_2 sin (b t)]

x (t) = C_1 cos (t) + C_2 sin (t)

E (ii) m_3 e m_4 :

x (t) = C_3 cos (t) + C_4 sin (t)

Mas como as raízes são iguais as anteriores, temos:

x (t) = C_3 t cos (t) + C_4 t sin (t)

A solução geral será dada pela soma das partes:

x (t) = C_1 cos (t) + C_2 sin (t) + C_3 t cos (t) + C_4 t s i n ( t )

Resposta

Concluimos então que a solução geral para a EDL terá a seguinte forma:

x (t) = cos (t) (C_1 + C_3 t) + sin (t) ( C_2 + C_4 t )

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