Determine a solução geral:

(f) (d^4 x)/(d t^4) - 2 (d^2 x)/(d t^2) + x = 0

Passo 1

Perceba que temos uma EDL homogênea de grau 4, podemos novamente utilizar as equações auxiliares para encontrar uma solução geral:

Seja então a seguinte equação auxiliar:

m^4 - 2 m^2 + 1 = 0

Trivialmente notamos que:

(+- 1^4) - 2 (+- 1^2) + 1 = 0

Então temos as duas primeiras raízes:

m_1 = 1 e m_2 = - 1

Passo 2

Aplicando Briot-Ruffini,usando a primeira raíz, encontramos a seguinte equação de terceiro grau:

m^3 + m^2 - m - 1 = 0

Aplicando novamente, dessa vez utilizando a segunda raíz, encontramos a equação de segundo grau:

m^2 - 1 = 0

O que resulta nas seguintes raízes:

m_3 = m_1 = 1 e m_4 = m_2 = - 1

Passo 3

Note que temos quatro raízes reais, sendo m_3 = m_1 e m_4 = m_2 , então podemos escrever a solução geral da seguinte forma:

x (t) = C_1 e^(m_1 t) + C_2 e^(m_2 t) + C_3 e^(m_3 t) + C_4 e^(m_4 t )

Mas como temos raízes iguais:

y (x) = C_1 e^(m_1 t) + C_2 e^(m_2 t) + C_3 t e^(m_3 t) + C_4 t e^(m_4 t)

Logo,

y (x) = C_1 e^t + C_2 e^(- t) + C_3 t e^t + C_4 t e^(- t)

Resposta

Concluimos então que a solução geral para a EDL, é:

x (t) = e^t [C_1 + t C_3] + e^(- t) [C_2 + t C_4]

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