Determine a solução geral

(d s)/(d t) - s = e^t

Passo 1

Queremos resolver a EDO linear para achar s = s (t) . Para isso, lembramos que para resolver equações desse tipo

(d s)/(d t) + a s = f (t)

Temos que achar o fator integrante:

I = e^(int a d t) = e^(a t)

Nesse caso, f (t) = e^t e a = - 1 :

I = e^(- t)

Multiplicando a equação por esse fator:

(d s)/(d t) e^(- t) - s e^(- t) = e^(- t) * e^t = 1

Passo 2

Note que o lado direito é fatorado como

(d s)/(d t) e^(- t) - s e^(- t) = (d)/(d t) (s e^(- t))

Assim,

(d)/(d t) (s e^(- t)) = 1

Integrando dos dois lados:

s e^(- t) = int 1 d t = t + C

Assim,

s = (t)/(e^(- t)) + (C)/(e^(- t))

Portanto,

s (t) = t e^t + C e^t

Resposta

s (t) = t e^t + C e^t

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