Esboce o gráfico da solução da equação

d y d x + y = 2 x + x 2

que satisfaz a condição inicial dada.

a) y 0 = 0

Passo 1

Queremos resolver a EDO linear de primeira ordem

d y d x + y = 2 x + x 2

que é do tipo

d y d x + a y = f x

Para resolver esse tipo de equação, achamos o fator integrante:

I = e ∫ a   d x = e a x

Como a = 1 :

I = e x

Multiplicando a equação por esse fator:

d y d x   e x + y   e x = 2 x + x 2 e x

Passo 2

Note que o lado direito é fatorado como

d y d x   e x + y   e x = d d x y   e x

Assim,

d d x y   e x = 2 x + x 2   e x

Integrando dos dois lados:

y e x = ∫ 2 x + x 2 e x   d x

Passo 3

Para calcular essa integral, usamos integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Chamando u = x 2 e d v = e x   d x :

d u = 2 x   d x             e             v = e x

Assim,

∫ x 2   e x   d x = x 2 e x - ∫ 2 x   e x   d x

Com isso,

∫ 2 x + x 2 e x   d x = ∫ 2 x   e x   d x + x 2 e x - ∫ 2 x   e x   d x = x 2   e x + C

Logo,

y   e x = x 2   e x + C

Ou ainda,

y x = x 2 + C e - x

Passo 4

Usando a condição inicial

y 0 = 0

temos que

0 = 0 + C

Logo,

C = 0

Portanto,

y x = x 2

O gráfico é a parábola:

Resposta

y x = x 2

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