9. Determine a solução geral da equação x^3 y^(' ') - x y^' + y = 0 , x > 0 .

Passo 1

Devemos proceder como no exercício 5 . Lá, sabíamos que x era uma solução da EDO, será que aqui também é?

x^3 y^(' ') - x y^' + y = 0

Se ela for solução, então podemos derivar...

y = x ->

y^' = 1 e y^(' ') = 0

E substituir:

x^3 (0) - x (1) + x = 0 ->

- x + x = 0 ->

0 = 0

Ora, não chegamos a nenhuma contradição como 1 = 0 ou outro absurdo qualquer. O que significa que de fato y = x é solução da EDO dada!

Passo 2

Sabemos do exercício anterior a esse que a solução y dessa EDO de 1ª ordem aqui é também solução da EDO de 2 ª ordem que queremos:

|[[f,(x),y],[f^',(x),y,']]| = e^(- int p (x) d x)

Onde f (x) é a solução da EDO de 2 ª Ordem que já temos, ou seja...

f (x) = x

Como a derivada de x é 1 ...

|[[x,y],[1,y,']]| = e^(- int p (x) d x)

Calculando esse determinante...

x y^' - y = e^(- int p (x) d x)

Agora, quem é p (x) ?

Passo 3

A EDO de 2 ª Ordem que estamos lidando no problema é essa daqui:

x^3 y^(' ') - x y^' + y = 0

Como x > 0 , podemos dividir todo mundo por x^2 ln x ...

y^(' ') - (1)/(x^2) y^' + (1)/(x^3) y = 0

De acordo com o formato padrão de EDO de 2 ª Ordem...

y^(' ') + p (x) y^' + q (x) y = 0

Vemos por comparação quem é o p (x) :

p (x) = - (1)/(x^2)

Então...

- int p (x) d x = int (1)/(x^2) d x =

- (1)/(x)

Veja que aqui não precisa adicionar a constante de integração C , então...

x y^' - y = e^(- 1 // x) ->

Dividindo todo mundo aí por x ...

y^' - (1)/(x) y = (1)/(x) e^(- 1 // x)

UMA EDO DE 1 ª ORDEM! Vamos resolvê-la?

Passo 4

De acordo com a nossa teoria, a solução dessa EDO é...

y = (1)/(I) (int I * B (x) d x + C)

Onde I é o fator integrante:

I = e^(int A (x) d x)

Sim, A (x) e B (x) vem da nossa EDO:

y^' - (1)/(x) y = (1)/(x) e^(- 1 // x) -> A (x) = - (1)/(x) e B (x) = (1)/(x) e^(- 1 // x)

Então...

I = e^(int - (1)/(x) d x) = e^(- ln x) =

e^(ln x^(- 1)) = x^(- 1) =

(1)/(x)

SHOW! Então a solução será...

y = (1)/((1)/(x)) (int (1)/(x) * (1)/(x) e^(- 1 // x) d x + C) ->

y = x (int (e^(- 1 // x))/(x^2) d x + C) ->

Para calcular essa integral, podemos usar integração por substituição simples:

u = - (1)/(x) -> d u = (1)/(x^2) d x

Então...

int (e^(1 // x))/(x^2) d x = int e^u d u =

e^u =

e^(- 1 // x)

Ou seja, a solução será...

y = x (int (e^(- 1 // x))/(x^2) d x + C) ->

y = x (e^(- 1 // x) + C) ->

y = x e^(- 1 // x) + C x

E essas são as outras soluções da EDO!

Passo 5

A solução geral será a combinação linear das duas soluções:

y = c_1 y_1 + c_2 y_2

Onde y_1 e y_2 são as soluções fundamentais linearmente independentes entre si!

Se uma solução for y_1 = x e a outra...

y_2 = x e^(- 1 // x)

y = c_1 x + c_2 x e^(1 // x)

Resposta

y = c_1 x + c_2 x e^(- 1 // x)

Ver Outros Exercícios desse livro