6. Considere a equação y ' ' - x y = 0 . Determine a solução que satisfaz as condições iniciais y 0 = 1 e y ' 0 = 0 .

Sugestão: Procure soluções da forma y = ∑ n = 0 ∞ a n x n . Veja Exemplo 3 da Seção 8.3

Passo 1

Como o problema não especifica, vamos solucionar o problema definindo y ( x ) como uma série centrada em x 0 = 0 , para simplificar as contas. Antes de tudo, precisamos verificar se o ponto x 0 é ordinário. Temos, nesse caso, P x = 1 ≠ 0 . Logo, qualquer ponto que escolhermos, inclusive x 0 = 0 é ordinário. Podemos usar o método aqui então.

Passo 2

Vamos, então, definir:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Fazendo essas substituições na EDO, temos:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - x ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0   →

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0   →

Passo 3

Precisamos, agora, Igualar as potências de x , nesse caso, por x n + 1 . Temos:

∑ n = 2 ∞ n n - 1 a n x n - 2 = ∑ n + 3 = 2 ∞ n + 3 n + 2 a n + 3 x n + 3 - 2 =

∑ n = - 1 ∞ n + 3 n + 2 a n + 3 x n + 1  

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice n (nesse caso, 3 ).

Substituindo então, vamos ficar com:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0   →

∑ n = - 1 ∞ n + 3 n + 2 a n + 3 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0  

Passo 4

Perceba que agora conseguimos fazer com que ela ficasse com o mesmo x , mas elas começam de pontos diferentes .

Não tem problema, né? Podemos substituir o - 1 no primeiro somatório, que então ele vai passar a começar do 0 :

- 1 + 3 - 1 + 2 a - 1 + 3 x - 1 + 1 + ∑ n = 0 ∞ n + 3 n + 2 a n + 3 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0   →

2 a 2 + ∑ n = 0 ∞ n + 3 n + 2 a n + 3 x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 = 0   →

Colocando as séries em evidência então...

2 a 2 + ∑ n = 0 ∞ n + 3 n + 2 a n + 3 - a n x n + 1 = 0  

Passo 5

Como x n ≠ 0 , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero (e veja também que a 2 que não depende de x deve ser 0 também!)

a 2 = 0

n + 3 n + 2 a n + 3 - a n = 0

Encontramos nossa relação de recorrência.

Passo 6

Vamos agora, calcular alguns a n ’s. Como o problema não nos dá informações iniciais sobre a 0 ou a 1 , vamos encontrar respostas em função desses valores.

para   n = 0       →       0 + 3 0 + 2 a 0 + 3   - a 0 = 0       →       a 3 = a 0 3 ⋅ 2

para   n = 1       →       1 + 3 1 + 2 a 1 + 3   - a 1 = 0       →       a 4 = a 1 4 ⋅ 3

para   n = 2       →       2 + 3 2 + 2 a 2 + 3   - a 2 = 0       →       a 5 = a 2 5 ⋅ 4 = 0

para   n = 3       →       3 + 3 3 + 2 a 3 + 3   - a 3 = 0       →       a 6 = a 3 6 ⋅ 5 = a 0 6 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 2

para   n = 4       →       4 + 3 4 + 2 a 4 + 3   - a 4 = 0       →       a 7 = a 4 7 ⋅ 6 = a 1 7 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 3

Veja que podemos descobrir os demais sem fazer contas:

a 8 = 0

a 9 = a 0 9 ⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 2

a 10 = a 1 10 ⋅ 9 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 3

Isso significa que qualquer a poderá ser encontrado assim:

a 2 + 3 n = 0

a 3 n = a 0 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2

a 3 n + 1 = a 1 3 n + 1 ⋅ 3 n ⋅ 3 n - 2 … 6 ⋅ 4 ⋅ 3

Passo 7

Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o a n .

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n   →

y x = a 0 + a 1 x + ∑ n = 1 ∞ a 3 n x 3 n + ∑ n = 1 ∞ a 3 n + 1 x 3 n + 1 + ∑ n = 1 ∞ a 3 n + 2 x 3 n + 2   →

y x = a 0 + a 1 x + ∑ n = 1 ∞ a 0 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 x 3 n + ∑ n = 1 ∞ a 1 3 n + 1 ⋅ 3 n ⋅ 3 n - 2 … 6 ⋅ 4 ⋅ 3 x 3 n + 1  

Passo 8

Aplicando agora as condições iniciais: y 0 = 1 e y ' 0 = 0 ...

y 0 = a 0 + a 1 ⋅ 0 + ∑ n = 1 ∞ a 0 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 0 3 n + ∑ n = 1 ∞ a 1 3 n + 1 ⋅ 3 n ⋅ 3 n - 2 … 6 ⋅ 4 ⋅ 3 0 3 n + 1     →

y 0 = a 0 = 1

Então...

y x = 1 + a 1 x + ∑ n = 1 ∞ 1 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 x 3 n + ∑ n = 1 ∞ a 1 3 n + 1 ⋅ 3 n ⋅ 3 n - 2 … 6 ⋅ 4 ⋅ 3 x 3 n + 1  

Derivando agora...

y ' x = a 1 + ∑ n = 1 ∞ 3 n 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 x 3 n - 1 + ∑ n = 1 ∞ a 1 ⋅ 3 n + 1 3 n + 1 ⋅ 3 n ⋅ 3 n - 2 … 6 ⋅ 4 ⋅ 3 x 3 n  

Logo...

y ' 0 = a 1 + ∑ n = 1 ∞ 3 n 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 0 + ∑ n = 1 ∞ a 1 ⋅ 3 n + 1 3 n + 1 ⋅ 3 n ⋅ 3 n - 2 … 6 ⋅ 4 ⋅ 3 0  

E portanto...

a 1 = y ' 0 = 0

Então a resposta mesmo fica sendo...

y x = 1 + ∑ n = 1 ∞ a 0 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 x 3 n  

Resposta

y x = 1 + ∑ n = 1 ∞ a 0 3 n ⋅ 3 n - 1 ⋅ 3 n - 3 … 5 ⋅ 3 ⋅ 2 x 3 n  

Ver Outros Exercícios desse livro