6. Considere a equação . Determine a solução que satisfaz as condições iniciais e .
Sugestão: Procure soluções da forma . Veja Exemplo 3 da Seção
Passo 1
Como o problema não especifica, vamos solucionar o problema definindo como uma série centrada em , para simplificar as contas. Antes de tudo, precisamos verificar se o ponto é ordinário. Temos, nesse caso, . Logo, qualquer ponto que escolhermos, inclusive é ordinário. Podemos usar o método aqui então.
Passo 2
Vamos, então, definir:
Fazendo essas substituições na EDO, temos:
Passo 3
Precisamos, agora, Igualar as potências de , nesse caso, por . Temos:
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesse caso, ).
Substituindo então, vamos ficar com:
Passo 4
Perceba que agora conseguimos fazer com que ela ficasse com o mesmo , mas elas começam de pontos diferentes .
Não tem problema, né? Podemos substituir o no primeiro somatório, que então ele vai passar a começar do :
Colocando as séries em evidência então...
Passo 5
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero (e veja também que que não depende de deve ser também!)
Encontramos nossa relação de recorrência.
Passo 6
Vamos agora, calcular alguns ’s. Como o problema não nos dá informações iniciais sobre ou , vamos encontrar respostas em função desses valores.
Veja que podemos descobrir os demais sem fazer contas:
Isso significa que qualquer poderá ser encontrado assim:
Passo 7
Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o .
Passo 8
Aplicando agora as condições iniciais: e ...
Então...
Derivando agora...
Logo...
E portanto...
Então a resposta mesmo fica sendo...