2. Determine a solução geral

A - x y^(' ') + y^' = 0 , x > 0

Passo 1

Podemos encontrar a solução dessa EDO fazendo a substituição dessa forma aqui:

y^' = u

Dessa forma...

y^(' ') = u '

Fazer isso é interessante, porque quando substituirmos isso na nossa EDO, vamos chegar em uma equação Linear homogênea de primeira ordem:

x y^(' ') + y^' = 0 ->

x u ' + u = 0 ->

Dividindo todo mundo por x , já que x > 0 ...

u ' + (1)/(x) u = 0

Passo 2

Ora, a solução de um EDO como esta, ou seja...

u^' + p (x) u = 0

É assim:

u = A e^(- int p (x) d x)

Calculando essa integral então sem colocar a constante...

int p (x) d x = int (1)/(x) d x =

ln |x|

Então...

u = A e^(- ln |x|) ->

u = A e^(ln |x^(- 1)|) =

A e^(ln |(1)/(x)|) =

(A)/(x)

Passo 3

Como sabemos que...

y^' = u ->

Integrando de ambos os lados...

y = int (A)/(x) d x ->

y = A ln |x| + B

Onde B é a constante dessa integração.

Resposta

y = A ln |x| + B

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