Determine a solução geral:
(b)
Passo 1
Novamente, temos uma EDL não-homogênea de 2ºgrau, portanto a solução geral pode ser obtida da seguinte forma:
Onde é a parte homogênea da solução, e é a solução particular.
Passo 2
Para encontrarmos a solução homogênea, considere a seguinte equação auxiliar:
Trivialmente, obtemos duas raízes complexas, lembrando que uma raíz complexa possui a seguinte forma:
Portanto:
Logo,
Portanto nossa solução:
Passo 3
Agora, para encontrar perceba que é uma função trigonométrica, de forma que esperamos algo parecido na solução particular.
Portanto vamos propor algo do tipo:
Mas, repare que essa solução é exatamente igual à homogênea, logo devemos propor outra solução:
De onde obtemos:
E
Substituindo na EDL e simplificando, obtemos:
Relacionando os dois lados da igualdade:
Portanto, a solução particular será:
Resposta
Concluimos que a solução geral terá a seguinte forma: