Determine a solução geral:

(b) (d^2 x)/(d t^2) + 9 x = - 6 sin (3 t)

Passo 1

Novamente, temos uma EDL não-homogênea de 2ºgrau, portanto a solução geral pode ser obtida da seguinte forma:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h é a parte homogênea da solução, e x_p é a solução particular.

Passo 2

Para encontrarmos a solução homogênea, considere a seguinte equação auxiliar:

m^2 + 9 = 0

Trivialmente, obtemos duas raízes complexas, lembrando que uma raíz complexa possui a seguinte forma:

m = a +- b i

Portanto:

m_1 = 0 - 3 i e m_2 = 0 + 3 i

Logo, a = 0 e b = 3

Portanto nossa solução:

x_h (t) = e^(a t) [C_1 cos (b t) + C_2 sin (b t)]

x_h (t) = C_1 cos (3 t) + C_2 sin (3 t)

Passo 3

Agora, para encontrar x_p perceba que g (t) = - 6 sin (3 t) é uma função trigonométrica, de forma que esperamos algo parecido na solução particular.

Portanto vamos propor algo do tipo:

x_p (t) = A cos (3 t) + B sin (3 t)

Mas, repare que essa solução é exatamente igual à homogênea, logo devemos propor outra solução:

x_p (t) = A t cos (3 t) + B t sin (3 t)

De onde obtemos:

x_p^' (t) = cos (3 t) (A + 3 B t) + sin (3 t) (B - 3 A t)

E

x_p^(' ') (t) = cos (3 t) (6 B - 9 A t) - sin (3 t) (6 A + 9 B t)

Substituindo na EDL e simplificando, obtemos:

6 B cos (3 t) - 6 A sin (3 t) = - 6 sin (3 t)

Relacionando os dois lados da igualdade:

6 B = 0 -> B = 0

- 6 A = - 6 -> A = 1

Portanto, a solução particular será:

x_p (t) = t cos (3 t)

Resposta

Concluimos que a solução geral terá a seguinte forma:

x (t) = C_1 cos (3 t) + C_2 sin (3 t) + t cos (3 t)

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