Determine a solução geral:

(d) (d x)/(d t) - x = 2 t e^t

Passo 1

Perceba que temos uma EDL não-homogênea e de primeiro grau, de forma que podemos obter a solução geral da seguinte forma:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h é a parte homogênea da solução, e x_p é a solução particular.

Passo 2

Na seção 11.1 do livro, vimos que dada uma EDL linear de 1º ordem: (d y)/(d x) +- a y = 0

A solução geral será:

y (x) = C e^(- a x)

Perceba que essa é a solução homogênea, portanto para a EDL dada no enunciado, teremos a seguinte solução geral:

x_h (t) = C_1 e^t

Passo 3

Agora, como g (t) = 2 t e^t é uma função polinomial e exponencial, podemos propor uma solução da seguinte forma:

x_p (t) = (A t + B) e^t = A t e^t + B e^t

Mas repare que a solução B e^t , já existe na parte homogênea, logo devemos propor uma solução diferente, do tipo:

x_p (t) = A t e^t + B t^2 e^t

E obtemos:

x_p^' (t) = A e^t + A t e^t + B t^2 e^t + 2 B t e^t

Substituindo na EDL:

A e^t + A t e^t + B t^2 e^t + 2 B t e^t - A t e^t + B t^2 e^t = 2 t e^t

A e^t + 2 B t e^t = 2 t e^t

Relacionando ambos os lados da igualdade:

A = 0

2 B = 2 -> B = 1

Então, a solução particular será:

x_p (t) = t^2 e^t

Resposta

Concluimos, que a solução geral para a EDL, será:

x (t) = C e^t + t^2 e^t

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