Determine a solução geral:

(g) (d^4 y)/(d x^4) + 3 (d^2 y)/(d x^2) + 2 y = 0

Passo 1

Perceba que temos uma EDL homogênea de grau 4, podemos novamente utilizar as equações auxiliares para encontrar uma solução geral:

Seja então a seguinte equação auxiliar:

m^4 + 3 m^2 + 2 = 0

Podemos reescrever da seguinte forma:

m^2 (m^2 + 3) = - 2

Uma das possibilidades é:

m^2 = - 1 e m^2 + 3 = 2

Assim encontramos duas raízes complexas:

m_1 = - i e m_2 = + i

Com a = 0 e b = 1

Passo 2

Outra possibilidade é:

m^2 = - 2 e m^2 + 3 = 1

De forma que encontramos mais duas raízes:

m_3 = - sqrt(2) i e m_4 = sqrt(2) i

Com a = 0 e b = sqrt(2)

Podemos então utilizar dessas 4 raízes complexas para encontrar a solução geral.

Passo 3

Podemos dividir a solução geral em duas etapas:

  1. m_1 e m_2 :
  2. y (x) = e^(a x) [C_1 cos (b x) + C_2 sin (b x)]

    y (x) = C_1 cos (x) + C_2 sin (x)

  3. m_3 e m_4 :

y (x) = e^(a x) [C_3 cos (b x) + C_4 sin (b x)]

y (x) = C_3 cos (sqrt(2) x) + C_4 sin (sqrt(2) x)

A solução geral será a soma das etapas.

y (x) = C_1 cos (x) + C_2 sin (x) + C_3 cos (sqrt(2) x) + C_4 s i n ( sqrt(2) x )

Resposta

Concluimos então que a solução geral da EDL terá a seguinte forma:

y (x) = C_1 cos (x) + C_2 sin (x) + C_3 cos (sqrt(2) x) + C_4 s i n ( sqrt(2) x )

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