Determine a solução geral:

(g) (d^2 x)/(d t^2) + 5 x = 5 t

Passo 1

Perceba que se trata de uma EDL não-homogênea, pois g (t) = 5 t != 0 , de 2º grau.

Portanto a solução geral será dada por:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h é a parte homogênea da solução, e x_p é a solução particular.

Passo 2

Considere então a seguinte equação auxiliar:

m^2 + 5 = 0

Trivialmente, encontramos as seguintes raízes complexas:

m_1 = 0 - sqrt(5) i e m_2 = 0 + sqrt(5) i

Com a = 0 e b = sqrt(5)

Portanto a solução homogênea será:

x_h (t) = e^(a t) [C_1 cos (b t) + C_2 sin (b t)]

x_h (t) = C_1 cos (sqrt(5) t) + C_2 sin (sqrt(5) t)

Passo 3

Agora, como g (t) = 5 t é uma função polinomial, espera-se que a solução também seja; portanto podemos propor uma solução do tipo:

x_p (t) = A t + B

Obtemos então:

x_p^' (t) = A e x_p^(' ') (t) = 0

Substituindo na equação original:

0 + 5 A t + 5 B = 5 t

Relacionando ambos os lados da igualdade:

5 A = 5 -> A = 1

B = 0

Então a solução particular assume a seguinte forma:

x_p (t) = t

Resposta

Concluimos então, sabendo que a solução geral é obtida pela soma das soluções particular e homogênea, que:

x (t) = C_1 cos (sqrt(5) t) + C_2 sin (sqrt(5) t) + t

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