Resolva a equação dada:

(d) overset(¨)(x) + 4 overset(˙)(x) + 5 x = e^(alpha t) sin (beta t) , o n d e alpha e beta s ã o r e a i s d a d o s :

Passo 1

Observe que se trata de uma EDL do 2º grau não-homogênea, portanto a solução geral para ela é dada por:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h é a parte homogênea da solução, e x_p é a solução particular.

Passo 2

Vamos começar obtendo a solução homogênea; então considere a seguinte equação auxiliar:

m^2 + 4 m + 5 = 0

Trivialmente obtemos duas raízes complexas, lembrando que m = a +- b i :

m_1 = - 2 - i e m_2 = - 2 + i

Com a = - 2 e b = 1

Portanto:

x_h (t) = e^(- 2 t) [C_1 cos (t) + C_2 sin (t)]

Passo 3

Agora, sabendo que o nosso g (t) = e^(alpha t) sin (beta t) é uma função exponencial e trigonométrica, então podemos propor uma solução do tipo:

x_p (t) = A e^(alpha t) cos (beta t) + B e^(alpha t) sin (beta t)

Essa solução será válida para alpha != - 2 e beta != 1 , pois repare que caso:

alpha = - 2 e beta = 1 a solução já existirá em x_h e portanto a devemos propor uma solução diferente, do tipo:

x_p (t) = A t e^(alpha t) cos (beta t) + B t e^(alpha t) sin (beta t)

Resposta

Dessa forma, temos a seguinte solução geral:

x (t) = e^(- 2 t) [C_1 cos (t) + C_2 sin (t)] + A e^(alpha t) cos (beta t) + B e^(alpha t) sin (beta t) , q u a n d o alpha != - 2 e beta != 1

E

x (t) = e^(- 2 t) [C_1 cos (t) + C_2 sin (t)] + A t e^(alpha t) cos (beta t) + B t e^(alpha t) sin (beta t) , c o m alpha = - 2 e beta = 1

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