Determine a solução geral:

(h) overset(⃛)(x) + overset(¨)(x) - 2 x = 0

Passo 1

Temos então, uma EDL de 3º ordem, homogênea; Podemos utilizar da equação auxiliar para encontrar a solução geral.

Sendo a seguinte eq. Auxiliar:

m^3 + m^2 - 2 = 0

Trivialmente, percebemos que m_1 = 1 é raíz da equação.

Passo 2

Dessa forma podemos aplicar Briot-Ruffini, e encontramo a seguinte equação do segundo grau:

m^2 + 2 m = 2 = 0

E então obtemos as outras duas raízes:

m_2 = - 1 - i e m_3 = - 1 + i

Onde a = - 1 e b = 1

Passo 3

Perceba que temos uma raíz real e duas complexas, podemos dividir a solução geral em duas etapas:

  1. Etapa Real:
  2. x (t) = C_1 e^(m_1 t)

    x (t) = C_1 e^t

  3. Etapa complexos:

x (t) = e^(a t) [C_2 cos (b t) + C_3 sin (b t)]

x (t) = e^(- t) [C_2 cos (t) + C_3 sin (t)]

Dessa forma a solução geral sera dada pela soma das etapas:

x (t) = C_1 e^t + e^(- t) [C_2 cos (t) + C_3 sin (t)]

Resposta

Concluímos então que a solução geral da EDL assumirá a seguinte forma:

x (t) = C_1 e^t + C_2 ((cos (t))/(e^t)) + C_3 ((sin (t))/(e^t))

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