Determine a solução geral:
(m)
Passo 1
Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 3º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.
A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:
Onde, é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.
E é justamente a parte particular da solução
Passo 2
Considere então a equação auxiliar:
Trivialmente notamos que uma das raízes dessa equação é
Aplicando Briot-Ruffini, encontramos a seguinte equação do segundo grau:
De onde encontramos duas raízes complexas:
Com
Portanto, nossa solução homogênea assume a seguinte forma:
Passo 3
Para encontrar a solução particular, perceba que é uma função polinomial e exponencial; de forma que podemos propor uma solução do tipo:
Mas perceba que a solução já existe em , portanto devemos alterá-la propondo o seguinte:
De onde obtemos:
E
Como também:
Substituindo na EDL:
Relacionando ambos os lados da igualdade:
A solução particular assumirá a seguinte forma:
Resposta
Logo, a solução geral para a EDL será dada por: