Determine a solução geral:

(m) overset(⃛)(x) - 8 x = (1 + t) e^(2 t)

Passo 1

Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 3º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.

A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:

y (x) = y_h (x) + y_p (x)

Onde, y_h é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.

E y_p é justamente a parte particular da solução

Passo 2

Considere então a equação auxiliar:

m^3 - 8 = 0

Trivialmente notamos que uma das raízes dessa equação é m_1 = 2

Aplicando Briot-Ruffini, encontramos a seguinte equação do segundo grau:

m^2 + 2 m + 4 = 0

De onde encontramos duas raízes complexas:

m_2 = - 1 - (sqrt(12))/(2) i e m_3 = - 1 + (sqrt(12))/(2) i

Com a = - 1 e b = (sqrt(12))/(2) = (2 sqrt(3))/(2) = sqrt(3)

Portanto, nossa solução homogênea assume a seguinte forma:

x_h (t) = C_1 e^(m_1 t) + e^(a t) [C_2 cos (b t) + C_3 sin (b t)]

x_h (t) = C_1 e^(2 t) + e^(- t) [C_2 cos (sqrt(3) t) + C_3 sin (sqrt(3) t)]

Passo 3

Para encontrar a solução particular, perceba que g (t) = (1 + t) e^(2 t) é uma função polinomial e exponencial; de forma que podemos propor uma solução do tipo:

x_p (t) = (A t + B) e^(2 t)

Mas perceba que a solução B e^(2 t) já existe em x_h , portanto devemos alterá-la propondo o seguinte:

x_p (t) = A t e^(2 t) + B t^2 e^(2 t)

De onde obtemos:

x_p^' (t) = e^(2 t) [2 A t + A] + e^(2 t) [2 B t^2 + 2 B t]

E

x_p^(' ') (t) = e^(2 t) [4 A t + 4 A] + e^(2 t) [4 B t^2 + 8 B t + 2 B]

Como também:

x_p^(' ' ') (t) = e^(2 t) [8 A t + 12 A] + e^(2 t) [8 B t^2 + 24 B t + 12 B]

Substituindo na EDL:

e^(2 t) [8 A t + 12 A] + e^(2 t) [8 B t^2 + 24 B t + 12 B] - 8 A t e^(2 t) - 8 B t^2 e^(2 t) = (1 + t) e^(2 t)

12 A e^(2 t) + (24 B t - 12 B) e^(2 t) = (1 + t) e^(2 t)

Relacionando ambos os lados da igualdade:

12 A = 0 -> A = 0

(24 B t - 12 B) = 1 -> B = (1)/(12 (2 t + 1))

A solução particular assumirá a seguinte forma:

x_p (t) = (1)/(12 ( 2 t + 1 )) t^2 e^(2 t)

Resposta

Logo, a solução geral para a EDL será dada por:

x (t) = C_1 e^(2 t) + e^(- t) [C_2 cos (sqrt(3) t) + C_3 sin (sqrt(3) t)] + (1)/(12 ( 2 t + 1 )) t^2 e^(2 t)

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