Determine a solução geral:

(g) overset(¨)(x) - x = 5 e^t

Passo 1

Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.

A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde, x_h é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.

E x_p é justamente a parte particular da solução.

Passo 2

Vamos começar encontrando x_h :

Seja a seguinte equação auxiliar,

m^2 - 1 = 0

Trivialmente obtemos as seguintes raízes:

m_1 = - 1 e m_2 = 1

Portanto a solução homogênea:

x_h (t) = C_1 e^(- t) + C_2 e^t

Passo 3

Temos a seguinte EDL: overset(¨)(x) - x = g ( t )

Como g (t) = 5 e^t , é válido dizer que esperamos encontrar exponencial também na solução particular; então supondo uma solução do tipo:

x_p (t) = A e^t

Mas repare que essa solução já aparece em x_h , como elas devem ser diferentes devemos multiplicar t , e então

x_p (t) = t A e^t

Onde teremos:

x_p^' (t) = A e^t ( 1 + t )

E

x_p^(' ') (t) = t A e^t + 2 A e^t

Substituindo na equação original:

[t A e^t + 2 A e^t] - t A e^t = 5 e^t

2 A e^t = 5 e^t

Relacionando os dois lados da igualdade:

2 A = 5 -> A = (5)/(2)

Portanto a solução particular da EDL assume a seguinte forma:

x_p (t) = (5)/(2) t e^t

Resposta

Concluimos então que a solução geral para a EDL será:

x (t) = C_1 e^(- t) + C_2 e^t + (5)/(2) t e^t

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