Determine a solução geral:
(g)
Passo 1
Primeiramente perceba que se trata de uma EDL de 2º grau não-homogênea, podemos encontrar uma solução geral aplicando o método dos coeficientes constantes.
A diferença para as EDL homogêneas, é que a solução geral de uma EDL não-homogênea terá uma solução particular, então temos que a solução geral será:
Onde, é a parte homogênea da solução e pode ser determinada com o uso das equações auxiliares.
E é justamente a parte particular da solução.
Passo 2
Vamos começar encontrando :
Seja a seguinte equação auxiliar,
Trivialmente obtemos as seguintes raízes:
Portanto a solução homogênea:
Passo 3
Temos a seguinte EDL:
Como , é válido dizer que esperamos encontrar exponencial também na solução particular; então supondo uma solução do tipo:
Mas repare que essa solução já aparece em , como elas devem ser diferentes devemos multiplicar , e então
Onde teremos:
E
Substituindo na equação original:
Relacionando os dois lados da igualdade:
Portanto a solução particular da EDL assume a seguinte forma:
Resposta
Concluimos então que a solução geral para a EDL será: