Determine uma solução particular:

overset(¨)(x) + x = (1)/(s e n (t)) , 0 < t < pi

Passo 1

Primeiramente, vamos definir a equação: trata-se de um equação diferencial linear de 2ºgrau e não-homogênea.

Portanto, a solução geral poderá ser obtida da seguinte forma:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde, x_h é a solução homogênea, e x_p a solução particular.

Passo 2

Primeiro, podemos encontrar a solução homogênea a partir da seguinte equação auxiliar:

m^2 + 1 = 0

Obtemos duas raízes complexas no modelo m = a +- b i :

m_1 = 0 - i e m_2 = 0 + i

Com a = 0 e b = 1 .

Portanto:

x_h (t) = e^(a t) [C_1 cos (b t) + C_2 sin (b t)]

x_h (t) = C_1 underset(x_1)(ubrace cos (t)) + C_2 underset(x_2)(ubrace sin (t))

Passo 3

Lembrando que o método dos coeficientes constantes só aceita g ( t ) como função trigonométrica quando g (t) = cos (t) o u s i n ( t ) , qualquer coisa diferente disso, como tan (t) , sec (t) ... devemos utilizar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.

Portanto, como g (t) = (1)/(sin (t)) devemos utilizar o método de variação dos parâmetro:

Para começar, vamos supor uma solução particular do tipo:

x_p (t) = mu_1 (t) x_1 + mu_2 x_2

E vamos definir x_1 = cos (t) e x_2 = sin (t) , repare que escolhemos com base na solução homogênea.

Vamos ter que:

w = |[[x_1,x_2],[x_1^',x_2^']]| = |[[cos (t),s,i,n,,(,t,)],[-,sin (t),c,o,s,,(,t,)]]| = cos^2 ( t ) + sin^2 (t) = 1

E

w_1 = |[[0,x_2],[g,(,t,),x_2^']]| = |[[0,sin (t)],[csc ( t ),c,o,s,,(,t,)]]| = - sin (t) . csc (t) = - 1

e

w_2 = |[[x_1,0],[x_1^',g,(t)]]| = |[[cos (t),0],[-,sin (t),csc (t)]]| = cos (t) . csc (t) = c o t ( t )

Para encontrar x_p precisamos de mu_1 e mu_2 , sabemos que:

mu_1^' = (w_1)/(w) e mu_2^' = (w_2)/(w)

Portanto basta integrar para encontrarmos a solução particular:

int mu_1^' = int (w_1)/(w) = int - (1)/(1) = - 1

Logo, mu_1 (t) = - 1

E agora:

int mu_2^' = int (w_2)/(w) = int (cot (t))/(1) d t = ln |sin (t)|

Portanto, mu_2 = l n ( sin t )

Então a nossa solução particular assume a seguinte forma:

x_p (t) = - cos (t) + l n ( sin t ) . sin (t)

Mas repare que - cos (t) já existe na solução homogênea (C_1 cos (t)) , portanto devemos multiplicar t para garantir que sejam diferentes, então:

x_p (t) = - t cos (t) + [ln ( sin t )] sin (t)

Resposta

Então, como o enunciado nos pede a solução particular, temos:

x_p (t) = [ln ( sin t )] sin (t) - t cos (t)

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