Determine uma solução particular:
Passo 1
Primeiramente, vamos definir a equação: trata-se de um equação diferencial linear de 2ºgrau e não-homogênea.
Portanto, a solução geral poderá ser obtida da seguinte forma:
Onde, é a solução homogênea, e a solução particular.
Passo 2
Primeiro, podemos encontrar a solução homogênea a partir da seguinte equação auxiliar:
Obtemos duas raízes complexas no modelo :
Com
Portanto:
Passo 3
Lembrando que o método dos coeficientes constantes só aceita como função trigonométrica quando , qualquer coisa diferente disso, como devemos utilizar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular.
Portanto, como devemos utilizar o método de variação dos parâmetro:
Para começar, vamos supor uma solução particular do tipo:
E vamos definir , repare que escolhemos com base na solução homogênea.
Vamos ter que:
E
e
Para encontrar precisamos de , sabemos que:
Portanto basta integrar para encontrarmos a solução particular:
Logo,
E agora:
Portanto,
Então a nossa solução particular assume a seguinte forma:
Mas repare que já existe na solução homogênea, portanto devemos multiplicar para garantir que sejam diferentes, então:
Resposta
Então, como o enunciado nos pede a solução particular, temos: