Considere o sistema:
Sejam as raízes da equação característica
Seja,
Uma solução qualquer do sistema. Prove:
(c) Se então a trajetória da solução que passa pelo ponto é uma elipse.
Passo 1
Lembrando sempre que estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e homogêneas.
Uma análise com matrizes facilita o estudo, podemos então reescrever o sistema dado da seguinte forma matricial:
Repare que se realizarmos a operação cairemos exatamente no sistema dado.
Passo 2
Agora, podemos encontrar a equação característica para o sistema, ela será dada por:
Onde é a matriz unitária
E
Logo,
E então encontraremos a seguinte equação:
Onde,
Se , então obtemos uma raíz complexa do tipo, .
Agora perceba que o enunciado propõe uma solução do tipo , isso ocorrera quando:
Então teremos uma equação característica diferente:
Passo 3
Supondo que seja um autovetor da raíz , chegamos na seguinte solução:
Mas,
E por relações de Laplace sabemos que:
Então,
Logo, teremos:
Ou seja, obtemos:
Então a solução geral será alguma coisa da forma:
Como são constantes, podemos reescrever da seguinte forma:
Que descreve uma trajetória elíptca, pois essa solução também serve para a EDL:
Onde são as constantes que estão presentes na equação da elipse:
Resposta
Portanto, se os autovalores forem imaginários do tipo , com então a solução possui uma trajetória elíptica.