Considere o sistema:

x ˙ = a 11 x + a 12 y y ˙ = a 21 x + a 22 y

Sejam λ 1   e   λ 2 as raízes da equação característica

a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ = 0

Seja,

x = x t y = y t   t ∈ R

Uma solução qualquer do sistema. Prove:

(c) Se λ 1 = i β   e   λ 2 = - i β ,     β ≠ 0 ,   então a trajetória da solução que passa pelo ponto x 0 ,   y 0 ≠ ( 0,0 ) é uma elipse.

Passo 1

Lembrando sempre que estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem e homogêneas.

Uma análise com matrizes facilita o estudo, podemos então reescrever o sistema dado da seguinte forma matricial:

x ˙ y ˙ = a 11 a 12 a 21 a 22 ⏟ A .   x y

Repare que se realizarmos a operação cairemos exatamente no sistema dado.

Passo 2

Agora, podemos encontrar a equação característica para o sistema, ela será dada por:

det ⁡ A - λ I = 0

Onde I   é a matriz unitária

I = 1 0 0 1

E

λ I = λ 0 0 λ

Logo,

det ⁡ A - λ I = a 11 - λ a 12 a 21 a 22 - λ = 0

E então encontraremos a seguinte equação:

λ 2 - a 11 + a 22 λ + a 11 a 22 - a 21 a 12 = 0

Onde,

λ = a 11 + a 22 2 ± ∆ 2

Se ∆ < 0 , então obtemos uma raíz complexa do tipo, λ = a ± b i .

Agora perceba que o enunciado propõe uma solução do tipo λ = 0 ± β i , isso ocorrera quando:

a = a 11 + a 22 2 = 0

Então teremos uma equação característica diferente:

λ 2 + a 11 a 22 - a 21 a 12 = 0

Passo 3

Supondo que v = m n seja um autovetor da raíz λ = + β i , chegamos na seguinte solução:

x y = m n e λ t

Mas,

e λ t = e 0 + β i t

E por relações de Laplace sabemos que:

e a ± b i t = e a t cos ⁡ b t + i sin ⁡ b t

Então,

e 0 + β i t = e 0 t cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t = cos ⁡ β t + i   s i n ⁡ ( β t )

Logo, teremos:

x y = m n .   cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t

Ou seja, obtemos:

x = m   cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t y = n   cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t

Então a solução geral será alguma coisa da forma:

x t = C 1 m cos ⁡ β t + C 2 m sin ⁡ β t y t = C 1 n cos ⁡ β t + C 2 n sin ⁡ β t  

Como C 1 ,   C 2 ,   m   e   n são constantes, podemos reescrever da seguinte forma:

x t = A cos ⁡ β t + B sin ⁡ β t y t = C cos ⁡ β t + D sin ⁡ β t  

Que descreve uma trajetória elíptca, pois essa solução também serve para a EDL:

a x d x + b y d y = 0

Onde a   e   b são as constantes que estão presentes na equação da elipse:

a c x 2 + b c y 2 = 1

Resposta

Portanto, se os autovalores forem imaginários do tipo λ = a ± b i , com a = 0 então a solução possui uma trajetória elíptica.

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