1 - Determine uma solução particular

a ) {[[overset(˙)(x) = - y + 2],[overset(˙)(y) = x + 1]])

Passo 1

Em sistema de soluções de EDO’s não homogênea, como sabemos temos que primeiro resolver a homogênea e depois a particular! O sistema homogêneo é:

{[[overset(˙)(x) = - y],[overset(˙)(y) = x]])

Como já vimos de montão como resolver homogêneas, vou ser mais rápido aqui, beleza? A matriz de coeficientes é:

A = [[[0,-,1],[1,0]]]

Então, os autovalores lambda podem ser encontrados por:

det ([[0,-,lambda,-,1],[1,0,-,lambda]]) = 0 ->

det ([[-,lambda,-,1],[1,-,lambda]]) = 0 ->

(- lambda)^2 + 1 = 0 ->

lambda^2 = - 1 ->

lambda = +- sqrt(- 1)

Então...

lambda = +- i

Show! As soluções fundamentais então serão assim:

x^((1)) = e^(a t) (vec alpha cos (b t) - vec beta sin (b t))

x^((2)) = e^(a t) (vec alpha sin (b t) + vec beta cos (b t))

Onde a e b :

lambda = 0 +- 1 i -> a = 0 e b = 1

Quanto a alpha e beta são os autovetores!

Passo 2

BUSCA PELOS AUTOVETORES: CASO COMPLEXO.

Os autovetores no caso de números complexos são calculados assim:

([[-,lambda,-,1],[1,-,lambda]]) ([[c],[d]]) = 0

Onde c e d são as coordenadas complexas do nosso vetor v . Como lambda = +- i , ecolhendo lambda = + i para analisar...

([[-,i,-,1],[1,-,i]]) ([[c],[d]]) = 0 ->

- i c - d = 0

Isolando d em função de c :

d = - i c

Escolhendo c = 1 , então...

d = - i

O autovetor v então será:

v = ([[1],[- i]]) =

([[1],[0]]) + ([[0],[- 1]]) i

Ou seja:

vec alpha = ([[1],[0]]) e vec beta = ([[0],[- 1]])

Logo, as soluções fundamentais serão...

x^((1)) = e^0 (([[1],[0]]) cos (t) - ([[0],[- 1]]) sin (t))

x^((2)) = e^0 (([[1],[0]]) sin (t) + ([[0],[- 1]]) cos (t))

Ou, simplificando...

x^((1)) = ([[cos (t)],[sin (t)]])

x^((2)) = ([[sin (t)],[- cos (t)]])

Passo 3

Com essas soluções fundamentais encontradas, podemos encontrar a solução da particular X_p sabendo da formulinha marota:

X_p = u_1 x^((1)) + u_2 x^((2))

Onde u_1 e u_2 são encontrados aqui

([[u_1],[u_2]]) = int [[[x^((1)),x^((2))]]]^(- 1) * G (t) d t

E o G (t) é o vetor que torna a coisa toda não homogênea:

{[[overset(˙)(x) = - y + 2],[overset(˙)(y) = x + 1]]) -> G (t) = ([[2],[1]])

Então vamos calcular essa integral aí!

Passo 4

([[u_1],[u_2]]) = int [[[[[cos (t)],[sin (t)]],[[sin (t)],[- cos (t)]]]]]^(- 1) * ([[2],[1]]) d t

Invertendo essa matriz:

[[[[[cos (t)],[sin (t)]],[[sin (t)],[- cos (t)]]]]]^(- 1) = (1)/(D) [[[[[- cos (t)],[- sin (t)]],[[- sin (t)],[cos (t)]]]]]

Onde D é o determinante da matriz original.

D = det [[[[[cos (t)],[sin (t)]],[[sin (t)],[- cos (t)]]]]] = - cos^2 t - sin^2 t =

- (cos^2 t + sin^2 t) = - 1

Então...

[[[[[cos (t)],[sin (t)]],[[sin (t)],[- cos (t)]]]]]^(- 1) = - 1 [[[[[- cos (t)],[- sin (t)]],[[- sin (t)],[cos (t)]]]]] =

[[[[[cos (t)],[sin (t)]],[[sin (t)],[- cos (t)]]]]]

Logo...

([[u_1],[u_2]]) = int [[[[[cos (t)],[sin (t)]],[[sin (t)],[- cos (t)]]]]]^(- 1) * ([[2],[1]]) d t ->

([[u_1],[u_2]]) = int [[[[[cos (t)],[sin (t)]],[[sin (t)],[- cos (t)]]]]] * ([[2],[1]]) d t ->

([[u_1],[u_2]]) = int ([[2 cos (t) + sin (t)],[2 sin (t) - cos (t)]]) d t ->

Integrando então essa matriz integrando cada um dos termos:

([[u_1],[u_2]]) = ([[2 sin (t) - cos (t)],[- 2 cos (t) - sin (t)]])

Repare que não há necessidade de se colocar a constante de integração! A solução da particular então será:

X_p = u_1 x^((1)) + u_2 x^((2)) ->

X_p = (2 sin (t) - cos (t)) ([[cos (t)],[sin (t)]]) + (- 2 cos (t) - sin (t)) ([[sin (t)],[- cos (t)]])

([[x_p],[y_p]]) = ([[(2 sin (t) - cos (t)) cos (t)],[(2 sin (t) - cos (t)) sin (t)]]) + ([[(- 2 cos (t) - sin (t)) sin (t)],[- (- 2 cos (t) - sin (t)) cos (t)]])

Resposta

([[x_p],[y_p]]) = ([[(2 sin (t) - cos (t)) cos (t)],[(2 sin (t) - cos (t)) sin (t)]]) + ([[(- 2 cos (t) - sin (t)) sin (t)],[- (- 2 cos (t) - sin (t)) cos (t)]])

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