4 - Faça um esboço das trajetórias das soluções para t > 0 suficientemente grande:

a )   x ˙ = - x + 1 y ˙ = - y + 1

Passo 1

Essas equações são equações independentes entre si, então podemos resolvê-las separadamente!

PRIMEIRA EQUAÇÃO:

x ˙ = - x + 1     →

Primeiro, vamos encontrar a resposta da homogênea:

x ˙ h = - x h

Ora, essa equação dá para saber a resposta sem mesmo resolver, né? Quem é a função cuja derivada é ela mesma com o sinal trocado?

x h = c 1 e - t

Agora vamos encontrar a resposta da particular por variação de parâmetros. Se a função que a torna não homogênea é 1 , uma constante, então essa será a solução particular também, ou seja, uma constante:

x p = A

Derivando...

x ˙ p = 0

Agora substituindo na EDO...

x ˙ p = - x p + 1       →

0 = - A + 1       →

A = 1

Então a solução geral para x será:

x = x h + x p   →

x = c 1 e - t + 1

Passo 2

SEGUNDA EQUAÇÃO:

y ˙ = - y + 1

POW! Essa equação é parecida com a primeira, então ela vai ter a mesma solução:

y = c 2 e - t + 1

A diferença vai ser na constante c 2 já que as duas equações são independentes, c 1 e c 2 podem ser números diferentes também, saca?

Passo 3

Beleza, então as duas respostas em função do tempo são:

x = c 1 e - t + 1

y = c 2 e - t + 1

Beleza, então, aplicando l n em todo mundo...

ln ⁡ 1 + y - ln ⁡ c 2 = - t

ln ⁡ 1 + x - ln ⁡ c 1 = - t

E igualando ambas equações...

ln ⁡ 1 + y - ln ⁡ c 2 = ln ⁡ 1 + x - ln ⁡ c 1

e ln ⁡ 1 + y - ln ⁡ c 2 = e ln ⁡ 1 + x - ln ⁡ c 2   →

1 + y c 2 = 1 + x c 1   →

Isolando y em função de x , obteremos...

y = c 2 c 1 1 + x - 1

RETAS!!! De diferentes angulações!

Passo 4

Por outro lado... As duas respostas em função do tempo são:

x = c 1 e - t + 1

y = c 2 e - t + 1

Poxa, ambas as equações, com t muito próximo do infinito, as exponenciais serão basicamente 0 , e as soluções vão tender a:

x = 1

y = 1

Isso significa que as soluções são retas de diferentes de diferentes angulações, mas todas as retas tendem ao mesmo ponto final: 1 ,   1 . Veja o gráfico...

Resposta

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