Determine uma solução que satisfaça as condições dadas.

g ) x ¨ = 1 - x ˙ 2 ,     x 0 = 1   e   x ˙ ( 0 ) = 0

Passo 1

Como o próprio exercício nos fala, inicialmente faremos: x ˙ = u , assim, teremos:

u ˙ = 1 - u 2

Passo 2

Renomeando u ˙ = d u d t e passando 1 - u 2 para o outro lado da equação multiplicando, teremos:

d u 1 - u 2 = d t ⋅ 1

Passo 3

Integrando dos dois lados, teremos:

1 2 ⋅ ln ⁡ 1 + u - 1 2 ⋅ l n ⁡ ( 1 - u ) = t + c 1

Realizando manobras matemáticas, temos:

ln ⁡ 1 + u 1 - u = 2 ⋅ t + c 1

Passo 4

Aplicaremos exponencial nos dois lados da equação, para assim, separar u:

1 + u = e 2 ⋅ t + c 1 ⋅ ( 1 - u )

Fazendo a distributiva:

1 + u = e 2 ⋅ t + c 1 - e 2 ⋅ t + c 1 ⋅ u

Passo 5

Agora, teremos:

e 2 ⋅ t + c 1 ⋅ u + u = e 2 ⋅ t + c 1 - 1

u ⋅ 1 + e 2 ⋅ t + c 1 = e 2 ⋅ t + c 1 - 1

Ou seja,

u = e 2 ⋅ t + c 1 - 1 e 2 ⋅ t + c 1 + 1

Passo 6

Como fizemos que u = x ˙ , temos: x ˙ = e 2 ⋅ t + c 1 - 1 e 2 ⋅ t + c 1 + 1

Como a condição inicial nos diz que: x ˙ ( 0 ) = 0 , então, substituindo na equação, temos:

c 1 = 0

Passo 7

Assim obtemos a equação:

x ˙ = e 2 ⋅ t - 1 e 2 ⋅ t + 1

Integrando os dois lados da equação, temos que:

x = ln ⁡ e 2 t + 1 - t + c 2

Passo 8

Agora, aplicando a condição inicial x 0 = 1 , temos que:

1 = ln ⁡ e 2 ⋅ 0 + 1 - 0 + c 2

c 2 = 1

Ou seja, a equação resultante é:

x = ln ⁡ e 2 t + 1 - t + 1

Resposta

A equação solução é dada por:

x = ln ⁡ e 2 t + 1 - t + 1

Ver Outros Exercícios desse livro