Determine uma solução que satisfaça as condições dadas.

f )   x ˙ 2 + 1 x = 1 ,     x 0 = 2 ,     x ˙ > 0

Passo 1

Inicialmente, passaremos 1 x para o outro lado subtraindo, tendo:

x ˙ 2 = 1 - 1 x

Passo 2

Agora, aplicaremos raiz quadrada nos dois lados da equação, tendo:

x ˙ = 1 - 1 x

Passo 3

Renomeando x ˙ = d x / d t , temos:

d x d t = 1 - 1 x

Passando d t para o outro lado multiplicando e 1 - 1 x para o outro dividindo, teremos:

d x 1 - 1 x = 1 ⋅ d t

Passo 4

Integrando dos dois lados, teremos:

x x - 1 ⋅ x - 1 + ln ⁡ x + x - 1 = t + c

Passo 5

Substituindo a condição inicial x 0 = 2

2 2 - 1 ⋅ 2 - 1 + ln ⁡ 2 + 2 - 1 = t + c

c = 2 + ln ⁡ 2 + 1

Passo 6

Colocando o valor de c na equação, teremos:

x x - 1 ⋅ x - 1 + ln ⁡ x + x - 1 = t + 2 + ln ⁡ 2 + 1

Como não será possível pôr o x isolado, colocaremos t e teremos:

t = x x - 1 ⋅ x - 1 + ln ⁡ x + x - 1 - 2 - ln ⁡ ( 2 + 1 )

Simplificando, teremos:

t = x 2 - x + ln ⁡ x + x - 1 2 + 1 - 2

Resposta

A função solução da equação se dá por:

t = x 2 - x + ln ⁡ x + x - 1 2 + 1 - 2

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