Determine uma solução que satisfaça as condições dadas.

h )   x ˙ + 1 t ⋅ x = x 2 ,     x 1 = 1 2

Passo 1

Olhando para essa equação, caracterizamos ela como uma equação diferencial de Bernoulli, pois:

y ' + p x ⋅ y = q x ⋅ y n

Onde, nesse caso,

y ' = x ˙ ,     p x = 1 t ,     q x = 1 ,     n = 2

Passo 2

A solução geral é obtida substituindo: v = x 1 - n e resolvendo 1 1 - n ⋅ v ' + p x ⋅ v = q ( x )

Ou seja,

v = x 1 - 2 o que leva a v = x - 1 .

Passo 3

Com o valor de v , faremos:

1 1 - 2 ⋅ v ' + v t = 1

Integrando, obtemos:

v = - ln ⁡ t ⋅ t + c 1 ⋅ t

Passo 4

Substituindo v = x - 1 , temos que:

x - 1 = - ln ⁡ t ⋅ t + c 1 ⋅ t

x = 1 - ln ⁡ t ⋅ t + c 1 ⋅ t

Passo 5

Colocando t em evidência no denominador, temos que:

x = 1 t ⋅ c 1 - ln ⁡ t

Passo 6

Substituindo os valores da condição inicial x 1 = 1 2 , temos:

1 2 = 1 1 c 1 - ln ⁡ 1

Ou seja,

c 1 = 2

Passo 7

Com o valor de c 1 , reescrevemos:

x = 1 t 2 - ln ⁡ t

Resposta

A solução da equação é dada por:

x = 1 t 2 - ln ⁡ t

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