Determine uma solução que satisfaça as condições dadas.
Passo 1
Primeiramente, procuraremos uma forma de solucionar esta equação. Vamos descobrir se essa equação é separável.
Simplificando, temos que:
e
Ou seja, a derivada dessas funções:
e
Como são diferentes, a equação não é exata.
Passo 2
Para resolver esta equação, teremos que multiplicar a função por uma outra função, que, ao se multiplicar pela função inicial, torne essa equação em uma equação exata.
Essa função que será multiplicada, é chamada de fator integrante, e pode ser encontrada por:
Passo 3
Substituindo os valores para encontrar esse fator integrante, temos que:
Então:
Passo 4
Multiplicando toda a equação, temos que:
Agora, temos uma equação exata.
Ou seja:
e
Assim, ao resolver qualquer das integrais, teremos que:
Passo 5
Onde, c é a constante que será definida pela condição inicial, onde:
.
Assim:
Assim, temos que:
Passo 6
Com , a solução da equação é:
Uma ressalva é que: sempre será maior que 0 para todo valor de y real, ou seja, a equação passará a ser equivalente a:
Assim, devido a condição inicial dada , conclui-se que a solução da equação é:
Resposta
A solução da equação é dada por: