Determine uma solução que satisfaça as condições dadas.

a )   y ' = 16 - y 4 ,     y 1 = 2

Passo 1

Primeiramente, procuraremos uma forma de solucionar esta equação. Vamos descobrir se essa equação é separável.

d y d x = 16 - y 4 ⋅ 1

Simplificando, temos que:

M x , y = 16 - y 4 e N x , y = - 1

Ou seja, a derivada dessas funções:

M y = - 4 y 3 e N x = 0

Como são diferentes, a equação não é exata.

Passo 2

Para resolver esta equação, teremos que multiplicar a função por uma outra função, que, ao se multiplicar pela função inicial, torne essa equação em uma equação exata.

Essa função que será multiplicada, é chamada de fator integrante, e pode ser encontrada por:

u x , y = e ∫ M y - N x N d x

Passo 3

Substituindo os valores para encontrar esse fator integrante, temos que:

u x , y = e ∫ - 4 y 3 - 0 - 1 d x

Então:

u x , y = e y 4

Passo 4

Multiplicando toda a equação, temos que:

16 - y 4 ⋅ e y 4 ⋅ d x - e y 4 ⋅ d y = 0

Agora, temos uma equação exata.

Ou seja:

M ( x , y ) = 16 - y 4 ⋅ e y 4 e N x , y = - e y 4

Assim, ao resolver qualquer das integrais, teremos que:

16 - y 4 ⋅ e y 4 ⋅ x = c

Passo 5

Onde, c é a constante que será definida pela condição inicial, onde:

y 1 = 2 .

Assim:

16 - 2 4 ⋅ e 2 4 ⋅ 1 = c

Assim, temos que:

c = 0

Passo 6

Com c = 0 , a solução da equação é:

16 - y 4 ⋅ e y 4 ⋅ x = 0

Uma ressalva é que: e y 4 sempre será maior que 0 para todo valor de y real, ou seja, a equação passará a ser equivalente a:

16 - y 4 = 0

Assim, devido a condição inicial dada y 1 = 2 , conclui-se que a solução da equação é:

y x = 2

Resposta

A solução da equação é dada por:

y x = 2

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