Determine uma solução que satisfaça as condições dadas.

e )   x ¨ = 2 x x ˙ ,     x 0 = 1 ,     x ˙ ( 0 ) = 2

Passo 1

Reescreveremos a função:

d 2 x d t 2 = 2 x ⋅ d x d t

Passo 2

Integraremos os dois lados da equação, para obter:

d x d t = x 2 + c 1

Aplicando a condição inicial: x ˙ ( 0 ) = 2

2 = 0 2 + c 1

Com isso, temos que o valor de c 1 = 2

Passo 3

Agora, substituindo na equação, teremos:

d x d t = x 2 + 2

Passando d t para o outro lado da equação multiplicando, e, x 2 + 2 dividindo, teremos:

d x x 2 + 2 = 1 ⋅ d t

Passo 4

Integrando dos dois lados, teremos:

1 √ 2 ⋅ arctan ⁡ ( x 2 ) = t + c 2

Passo 5

Substituindo a condição inicial x 0 = 1

1 2 ⋅ arctan ⁡ 1 2 = 0 + c 2

c 2 = 2 2 ⋅ arctan ⁡ 2 2

Passo 6

Substituindo o valor de c 2 na função, temos que:

1 √ 2 ⋅ arctan ⁡ ( x 2 ) = t + 2 2 ⋅ arctan ⁡ 2 2

Passando 1 / 2 para o outro lado, chegamos a:

arctan ⁡ x 2 = 2 ⋅ t + arctan ⁡ 2 2

Aplicando tangente dos dois lados, chegamos a:

x 2 = tan ⁡ 2 ⋅ t + 2 2

Multiplicando os dois lados por 2 , temos:

x = 2 ⋅ tan ⁡ 2 ⋅ t + 1

Resposta

A função solução da equação se dá por:

x = 2 ⋅ tan ⁡ 2 ⋅ t + 1

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