Determine uma solução que satisfaça as condições dadas.

o ) d y d x = y x + x 2 y ,     y 1 = 1

Passo 1

Para a resolução desse exercício, faremos y = u x .

Ou seja:

d y d x = d u d x x + u

Agora, substituindo na equação original, temos:

d u d x x + u = u x x + x 2 u x

Passo 2

Reorganizando a equação e fazendo simplificações, temos que:

d u d x x + u = u + x u

Ou seja,

d u d x = 1 u

Passo 3

Agora, separaremos as variáveis, obtendo

d u ⋅ u = 1 ⋅ d x

Assim, integrando dos dois lados, obteremos:

u 2 2 = x + c

Passo 4

Substituindo, temos:

y 2 2 ⋅ x 2 = c + x

Reescrevendo:

y 2 = 2 x 3 + 2 x 2 c

Passo 5

Aplicando a condição inicial y 1 = 1 , temos que:

1 2 = 2 ⋅ 1 3 + 2 ⋅ 1 2 ⋅ c

Ou seja, c = - 1 2

Passo 6

Reescrevendo a equação com o valor de c , temos:

y 2 = 2 x 3 - x 2

Aplicando raiz quadrada dos dois lados, no intuito de isolar y , obteremos:

y = 2 x 3 - x 2

y = x 2 2 x - 1

Ou seja,

y = x 2 x - 1

Resposta

A solução da equação é dada por:

y = x 2 x - 1

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