Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas.
Passo 1
Primeiramente perceba que temos uma EDL de 1ºgrau e não-homogênea, portanto a solução geral será dada por:
Onde é a parte homogênea da solução, e a solução particular uma vez que a EDL não é homogênea.
Passo 2
A solução homogênea pode ser obtida trivialmente pois sabemos que a solução geral de uma EDL homogênea de 1º grau é:
Onde é a constante que multiplica na EDL.
Ou seja, no nosso caso
Portanto a solução homogênea:
Passo 3
Agora, como esperamos uma solução do tipo:
Mas repare que já existe na solução homogênea, portanto devemos multiplicar nesse termo:
Novamente temos uma solução repetida, logo devemos multiplicar novamente no termo , então:
De onde obtemos:
Substituindo na equação original:
Relacionando ambos os lados da igualdade:
Então a solução particular:
Resposta
Portanto a solução geral será:
Aplicando a condição inicial, encontramos , logo