Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas.

  1. d y d x - y = x e x ,   y 0 = 1

Passo 1

Primeiramente perceba que temos uma EDL de 1ºgrau e não-homogênea, portanto a solução geral será dada por:

y x = y h x + y p x

Onde y h é a parte homogênea da solução, e y p   a solução particular uma vez que a EDL não é homogênea.

Passo 2

A solução homogênea pode ser obtida trivialmente pois sabemos que a solução geral de uma EDL homogênea de 1º grau é:

y x = C   e - a x

Onde a é a constante que multiplica y   na EDL.

Ou seja, no nosso caso a = - 1

Portanto a solução homogênea:

y h x = C   e x

Passo 3

Agora, como g x = x e x esperamos uma solução do tipo:

y p x = A x + B e x

Mas repare que B e x já existe na solução homogênea, portanto devemos multiplicar x   nesse termo:

y p x = A x + B x e x

Novamente temos uma solução repetida, logo devemos multiplicar x   novamente no termo B x e x , então:

y p x = A x + B x 2 e x

De onde obtemos:

y p ' x = A x e x + A e x + B x 2 e x + 2 B x e x

Substituindo na equação original:

A x e x + A e x + B x 2 e x + 2 B x e x - A x e x - B x 2 e x = x e x

A e x + 2 B x e x = x e x

Relacionando ambos os lados da igualdade:

A = 0

2 B = 1 → B = 1 2

Então a solução particular:

y p x = x 2 2 e x

Resposta

Portanto a solução geral será:

y x = C   e x + x 2 2 e x

Aplicando a condição inicial, encontramos C = 1 , logo

y x = e x 1 + x 2 2

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