Determine a solução geral:

  1. (d^2 x)/(d t^2) + 4 (d x)/(d t) + 4 x = 6 t e^(- 2 t)

Passo 1

Perceba que se trata de uma EDL não-homogênea, pois g (t) = 6 t e^(- 2 t) != 0 , de 2º grau.

Portanto a solução geral será dada por:

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h é a parte homogênea da solução, e x_p é a solução particular.

Passo 2

Considere a seguinte equação auxiliar:

m^2 + 4 m + 4 = 0

Encontramos as seguintes raízes:

m_1 = m_2 = - 2

Portanto a solução homogênea:

x_h (t) = C_1 e^(m_1 t) + C_2 e^(m_2 t)

Mas como as raízes são iguais:

x_h (t) = C_1 e^(m_1 t) + C_2 t e^(m_1 t)

x_h (t) = C_1 e^(- 2 t) + C_2 t e^(- 2 t)

Passo 3

Agora, como g (t) = 6 t e^(- 2 t) é uma função exponencial e polinomial, esperamos que a solução também seja; logo podemos propor uma solução do tipo:

x_p (t) = (A t + B) e^(- 2 t)

Mas repare que essa solução é exatamente igual à homogênea, portanto devemos propor outra:

x_p (t) = A t^2 e^(- 2 t) + B t^3 e^(- 2 t)

De onde obtemos:

x_p^' (t) = e^(- 2 t) [2 A t - 2 A t^2 + 3 B t^2 - 2 B t^3]

E

x_p^(' ') (t) = e^(- 2 t) [4 A t^2 - 8 A t + 2 A + 4 B t^3 - 12 B t^2 + 6 B t]

Substituindo na equação original e simplificando, temos:

2 A (e^(- 2 t)) + 6 B t e^(- 2 t) = 6 t e^(- 2 t)

Relacionando ambos os lados da igualdade:

A = 0

6 B = 6 -> B = 1

Portanto a solução particular assume a seguinte forma:

x_p (t) = t^3 e^(- 2 t)

Resposta

Logo, como a solução geral é dada pela soma das soluções homogênea e particular, temos:

x (t) = C_1 e^(- 2 t) + C_2 t e^(- 2 t) + t^3 e^(- 2 t)

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