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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 13.8 - Ex. 6

6. (Equação de Bessel de ordem α com α não inteiro) Considere equação de Bessel de ordem α . x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - α 2 y = 0 . Com α não inteiro. Mostre que esta equação admite duas soluções linearmente independentes, com as seguintes formas

φ 1 x = x α ∑ k = 0 + ∞ a k x k       e         φ 2 x = x - α ∑ k = 0 + ∞ b k x k

Passo 1

Para provar isso, temos que voltar na teoria de ponto singular regular, e provar que a solução da equação indicial:

r r - 1 + q 0 r + r 0 = 0

Geram-nos dois valores cuja subtração não é um número inteiro! Antes, porém, vamos verificar se de fato estamos lidando com uma EDO singular regular e de quebra encontrar q 0 e r 0 ...

q 0 = lim x → x 0 ⁡ x - x 0 Q x P x

r 0 = lim x → x 0 ⁡ x - x 0 2 R x P x

Onde P x , Q x e R x vem dá EDO genérica:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

No nosso caso...

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - α 2 y = 0         →               P x = x 2 ,             Q x = x           e             R x = x 2 - α 2

No nosso caso, o ponto singular que queremos verificar se é regular ou não é o ponto x 0 = 0 , pois P 0 = 0 2 = 0 .

q 0 = lim x → x 0 ⁡ x - 0 x x 2 = 1

r 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 - α 2 x 2 = - α 2

Passo 2

Então como ambos são valores reais, concluímos que o ponto é singular regular e ainda que podemos verificar a equação indicial:

r r - 1 + q 0 r + r 0 = 0   →

r r - 1 + r - α 2 = 0     →

r 2 - r + r - α 2 = 0   →

r 2 = α 2     →

r = ± α

SHOW! Então como α é u número não inteiro, podemos afirmar que α - - α = 2 α também não será inteiro! Logo, existirão duas soluções independentes:

φ 1 x = x α ∑ k = 0 + ∞ a k x k       e         φ 2 x = x - α ∑ k = 0 + ∞ b k x k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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