Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 13.8 - Ex. 7

Considere a equação y ' ' + x 2 y = 0 . Mostre que a solução geral é y = k 1 φ 1 x + k 2 φ 2 x onde φ 1 x e φ 2 x são dadas por séries de potências:

φ 1 x = ∑ k = 0 + ∞ a k x k       e         φ 2 x = ∑ k = 0 + ∞ b k x k

Passo 1

Vamos provar isso buscando a solução dessa EDO. Podemos criar a solução da EDO por série de potências:

y = ∑ n = 0 ∞ c n x n

Derivando...

y ' = ∑ n = 0 ∞ n c n x n - 1

y ' ' = ∑ n = 0 ∞ n - 1 n c n x n - 2

Substituindo isso então na EDO...

y ' ' + x 2 y = 0     →

∑ n = 0 ∞ n - 1 n c n x n - 2 + x 2 ∑ n = 0 ∞ c n x n = 0       →

∑ n = 0 ∞ n - 1 n c n x n - 2 + ∑ n = 0 ∞ c n x n + 2 = 0       →

SHOW! Lembre-se, aqui sempre temos que tentar colocar as séries dentro de uma só, para isso vamos começar mudando x n + 2 para x n - 2 . Como podemos fazer isso? Colocando - 4 na frente de todo n da série...

∑ n = 0 ∞ n - 1 n c n x n - 2 + ∑ n - 4 = 0 ∞ c n - 4 x n - 4 + 2 = 0       →

∑ n = 0 ∞ n - 1 n c n x n - 2 + ∑ n = 4 ∞ c n - 4 x n - 2 = 0       →

SHOW! Agora precisamos abrir a primeira série até ela ficar com n = 4 como a segunda:

0 - 1 ⋅ 0 c 0 x - 2 + 1 - 1 c 1 x 1 - 2 + 2 - 1 ⋅ 2 c 2 + 3 - 1 ⋅ 3 c 3 x 1 + ∑ n = 4 ∞ n - 1 n c n x n - 2 + ∑ n = 4 ∞ c n - 4 x n - 2 = 0       →

Simplificando esses termos...

2 c 2 + 6 c 3 x + ∑ n = 4 ∞ n - 1 n c n x n - 2 + ∑ n = 4 ∞ c n - 4 x n - 2 = 0       →

E prontinho! Podemos colocar essas duas séries dentro de uma só:

2 c 2 + 6 c 3 x + ∑ n = 4 ∞ n - 1 n c n + c n - 4 x n - 2 = 0       →

Para isso ser 0 , temos que tdos esses termos aí devem ser 0 :

2 c 2 + 6 c 3 x = 0

n - 1 n c n + c n - 4 = 0

Como x não pode ser 0 , da primeira equação tiramos...

c 2 = 0   e     c 3 = 0

Da segunda equação chegaremos na equação de recorrência:

n - 1 n c n + c n - 4 = 0   →

c n = - c n - 4 n - 1 n

Passo 2

Agora chegou a hora de inspecionarmos os valore de c , começando por c 4 , podemos substituir n = 4 ...

c 4 = - c 0 4 - 1 ⋅ 4 = - c 0 3 ⋅ 4

Agora para n = 5 ...

c 5 = - c 5 - 4 5 - 1 ⋅ 5 = - c 1 4 ⋅ 5

Para n = 6 e 7 , vamos ter dependência de c 2 e c 3 que vimos ser 0 , logo...

c 6 = - c 6 - 4 6 - 1 6 = - c 2 5 ⋅ 6 = 0

c 7 = - c 7 - 4 7 - 1 7 = - c 3 6 ⋅ 7 = 0

Para c 8 e c 9 ...

c 8 = - c 8 - 4 8 - 1 8 = - c 4 7 ⋅ 8 = c 0 3 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ 8

c 9 = - c 9 - 4 9 - 1 9 = - c 5 8 ⋅ 9 = c 1 4 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 9

Percebeu o que está acontecendo? Todos os termos que dependem de c 2 e c 3 são nulos, mas todos os termos que depende de c 0 continuam dependendo de c 0 , gerando uma solução que depende de c 0 :

φ 1 x = ∑ k = 0 + ∞ a k x k = c 0 ∑ k 0 = 0 + ∞ a k 0 x k 0

Agora todos os termos que dependem de c 1 formam uma sequência c 1 a k 0 e portando gera a outra solução...

φ 2 x = ∑ k = 0 + ∞ b k x k = c 1 ∑ k = 0 + ∞ b k 1 x k 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro