Estude a série dada com relação a convergência ou divergência:

  1. ∑ k = 0 + ∞ 1 k 2 + 1

Passo 1

Segundo o critério da integral:

f x = 1 x 2 + 1

Trivialmente temos f x   contínua em [ 0 ; + ∞ [ , decrescente e positiva no mesmo intervalo.

Passo 2

Temos então:

∫ p = 0 + ∞ 1 x 2 + 1 d x

Resolvendo por Substituição trigonométrica:

∫ 0 ∞ cos 2 ⁡ ( θ ) sec 2 ⁡ ( θ ) d θ = ∫ 0 ∞ d θ = θ ∞   0

Passo 3

Mas θ = arctan ⁡ ( x )

Então:

∫ p = 0 + ∞ 1 x 2 + 1 d x = arctan ⁡ ( x ) ∞ 0

Quando x → ∞ , arctan ⁡ ( x ) → π 2

Trivialmente quando x → 0 , arctan ⁡ ( x ) → 0

Logo,

arctan ⁡ ( x ) ∞ 0 = π 2 - 0 = π 2

Resposta

Concluimos então, que a série converge, pois:

∫ p = 0 + ∞ 1 x 2 + 1 d x = ∑ k = 0 + ∞ 1 k 2 + 1 = π 2

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