Estude a série dada com relação a convergência ou divergência:

(h) ∑ k = 0 + ∞   k 1 + k 2

Passo 1

Segundo o critério da integral:

f x = x 1 + x 2

Trivialmente f ( x ) é continua, positiva e decrescente em [ 0 ; + ∞ [ .

Passo 2

Temos:

∫ 0 + ∞ x 1 + x 2 d x

Resovendo por troca de variáveis:

1 2 ∫ 0 + ∞ d u u = 1 2   [ l n ⁡ ( x 2 + 1 ) ] ∞ 0

Passo 3

Temos então,

ln ⁡ x 2 + 1 → ∞ quando x → ∞

E

ln ⁡ x 2 + 1 → 0 quando x → 0

Portanto:

∫ 0 + ∞ x 1 + x 2 d x = ∞

Resposta

Uma vez que,

∫ 0 + ∞ x 1 + x 2 d x → D i v e r g e

Logo,

∑ k = 0 + ∞   k 1 + k 2 → D i v e r g e

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