Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 1c

1. Estude a série dada com relação a convergência e divergência.

C.

∑ n = 1 + ∞ α α + 1 … α + n - 1 β β + 1 … β + n - 1 γ γ + 1 … γ + n - 1 δ δ + 1 … δ + n - 1

Passo 1

Bem! Primeiro, vamos tirar daí o termo a n , simplesmente fazendo...

a n = α α + 1 … α + n - 1 β β + 1 … β + n - 1 γ γ + 1 … γ + n - 1 δ δ + 1 … δ + n - 1

SHOW! O a n + 1 nada mais é do que o próximo termo dessa sequência, ou seja...

a n + 1 = α α + 1 … α + n - 1 α + n β β + 1 … β + n - 1 β + n γ γ + 1 … γ + n - 1 γ + n δ δ + 1 … δ + n - 1 δ + n

Sacou? A divisão de um pelo outro nada mais é que:

a n + 1 a n = α α + 1 … α + n - 1 α + n β β + 1 … β + n - 1 β + n γ γ + 1 … γ + n - 1 γ + n δ δ + 1 … δ + n - 1 δ + n α α + 1 … α + n - 1 β β + 1 … β + n - 1 γ γ + 1 … γ + n - 1 δ δ + 1 … δ + n - 1

CALMA jovem gafanhoto! Isso aí simplifica muito! Basta cortar todos os termos iguais, onde vai sobrar apenas...

a n + 1 a n = α + n β + n γ + n δ + n

Passo 2

Beleza! Agora podemos aplicar o limite do critério de Morgan e ver o que acontece:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 - a n + 1 a n - 1     →

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 - α + n β + n γ + n δ + n - 1     →

Esse limite é um pouco chaaaato de se calcular na mão. Poderá levar horas. Então não tem problemas se usar uma forcinha de um computador, não é mesmo? Aqui vamos usar o WolframAlpha:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 - α + n β + n γ + n δ + n - 1 = 1 + α + β - γ - δ - ∞

Isso significa que o resultado é infinito, mas para saber o sinal dele, vai depender de quem são α , β , γ e δ . Saca?

Passo 3

Sabemos que eles são estritamente negativos. De modo que - γ - δ é positivo.

Se α + β for em módulo maior que 1 - γ - δ , então o sinal fica negativo mesmo:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 - α + n β + n γ + n δ + n - 1 = - ∞

E a série diverge.

Mas se α + β for em módulo menor que 1 - γ - δ , então o sinal fica positivo:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 - α + n β + n γ + n δ + n - 1 = + ∞

E a série convergirá.

Por último, se α + β for em módulo igual que 1 - γ - δ , então o resultado final vai ser 0 :

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 - α + n β + n γ + n δ + n - 1 = 0

E como 0 é menor que 1 , a série divergirá!

Resposta

Série converge se α + β > 1 - γ - δ

Série diverge se α + β ≤ 1 - γ - δ

Ver Outros Exercícios desse livro