4. Suponha que

É uniformemente convergente em fução

Seja tal que, para todo , , onde é um real fixo. Prove que

Converge uniformemente em à função .

Ora bolas, sabemos que o que significa que a função é limitada para todo no domínio .

A função , pelo que o enunciado nos disse é uma função série convergente para todo no mesmo do mínio .

Vamos supor agora que a nós estamos interessados no valor de para um qualquer dentro de :

Como é um valor real, podemos tirá-lo da série:

Ora, de fato, a série converge para por definição, então...

Como foi um ponto qualquer escolhido, para qualquer que pegarmos, isso vale! Ou seja, de fato a nosso função converge!