Estude a série dada com relação a convergência ou divergência:

(d) ∑ k = 0 + ∞   k 1 + k 4

Passo 1

Segundo o critério da integral:

f x = x 1 + x 4

Trivialmente f ( x ) é continua, positiva e decrescente em [ 0 ; + ∞ [ .

Passo 2

Temos:

∫ 0 + ∞ x 1 + x 4 d x

Resovendo por Substituição trigonométrica:

1 2 ∫ 0 + ∞ d θ = 1 2 arctan ⁡ x 2 + ∞ 0

Passo 3

Teremos:

arctan ⁡ x 2 → π 2 quando x → + ∞

arctan ⁡ x 2 → 0   quando x → 0

Logo,

∫ 0 + ∞ x 1 + x 4 d x = 1 2   . π 2 = π 4

Resposta

Como,

∫ 0 + ∞ x 1 + x 4 d x → c o n v e r g e

Então:

∑ k = 0 + ∞   k 1 + k 4 → c o n v e r g e

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