Estude a série dada com relação a convergência ou divergência:

(e) ∑ k = 2 + ∞ 1 k ln ⁡ k ln ⁡ ln ⁡ k

Passo 1

Segundo o critério da integral:

f x = 1 x   . ln ⁡ x .  ln ⁡ ln ⁡ x

Temos f x   contínua em [ 3 ; + ∞ [ , decrescente e positiva no mesmo intervalo.

Passo 2

Então:

∫ 3 + ∞ 1 x   . ln ⁡ x .  ln ⁡ ln ⁡ x d x

Note que :

ln ⁡ ln ⁡ ln ⁡ k ' = 1 k ln ⁡ k ln ⁡ ln ⁡ k

Passo 3

Portanto:

∫ 3 + ∞ 1 x   . ln ⁡ x .  ln ⁡ ln ⁡ x d x = ln ⁡ l n ⁡ ( ln ⁡ x )   + ∞ 3

Temos:

ln ⁡ l n ⁡ ( ln ⁡ x ) → ∞   quando x → ∞

Portanto:

∫ 3 + ∞ 1 x   . ln ⁡ x .  ln ⁡ ln ⁡ x d x = ∞

Resposta

Dessa forma, como temos

∫ 3 + ∞ 1 x   . ln ⁡ x .  ln ⁡ ln ⁡ x d x → d i v e r g e

Então:

∑ k = 2 + ∞ 1 k ln ⁡ k ln ⁡ ln ⁡ k → d i v e r g e

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