Estude a série dada com relação a convergência ou divergência:

(g) ∑ k = 2 + ∞ 1 k . ( ln ⁡ k ) . ln ⁡ ln ⁡ k α   ,   0 < α < 1

Passo 1

Segundo o critério da integral:

f x = 1 x   . ln ⁡ x . [  ln ⁡ ( ln ⁡ x ) ] α

Temos f x   contínua em [ 3 ; + ∞ [ , decrescente e positiva no mesmo intervalo.

Passo 2

Temos então:

∫ 3 + ∞ 1 x   . ln ⁡ x [ ln ⁡ ln ⁡ x ) α   d x  

Podemos obter a seguinte relação para 0 < α < 1

1 x   . ln ⁡ x [ ln ⁡ ln ⁡ x ) α   ≥ 1 x   . ln ⁡ x .  ln ⁡ ln ⁡ x

Passo 3

Então,

∫ 3 + ∞ 1 x   . ln ⁡ x [ ln ⁡ ln ⁡ x ) α   d x   ≥   ∫ 3 + ∞ 1 x   . ln ⁡ x .  ln ⁡ ln ⁡ x d x

Vimos na alternativa E dessa mesma questão, que:

∫ 3 + ∞ 1 x   . ln ⁡ x .  ln ⁡ ln ⁡ x d x = ∞

Isso significa que

∫ 3 + ∞ 1 x   . ln ⁡ x [ ln ⁡ ln ⁡ x ) α   d x   ≥ ∞ ,   p a r a   0 < α < 1

Resposta

Uma vez que a integral,

∫ 3 + ∞ 1 x   . ln ⁡ x [ ln ⁡ ln ⁡ x ) α   d x   → D i v e r g e   p a r a   0 < α < 1

Concluimos então:

∑ k = 2 + ∞ 1 k . ( ln ⁡ k ) . ln ⁡ ln ⁡ k α   → D i v e r g e   p a r a   0 < α < 1

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