Estude a série dada com relação a convergência ou divergência:

(c) ∑ k = 2 + ∞ 1 k α ln ⁡ k ,   α > 0

Passo 1

Segundo o critério da integral:

f x = 1 x α ln ⁡ x

Temos f x   contínua em [ 3 ; + ∞ [ , decrescente e positiva no mesmo intervalo.

Passo 2

Temos então:

∫ 3 + ∞ 1 x α ln ⁡ x d x

Passo 3

Podemos estabeler a seguinte relação:

Para 0 < α ≤ 1 :

∫ 3 + ∞ 1 x α ln ⁡ x d x ≥ ∫ 3 + ∞ 1 x ln ⁡ x d x = + ∞

Para α > 1 :

∫ 3 + ∞ 1 x α ln ⁡ x d x ≤   ∫ 3 + ∞ 1 x α d x → c o n v e r g e

Resposta

Logo, podemos concluir que a série D i v e r g e   p a r a   0 < α ≤ 1 e c o n v e r g e   p a r a   α > 1 .

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