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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 36

Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ n 2 n n + 1 ! n ! 3 n

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos esse exercício, vamos usar o Teste da Razão. Antes, vamos relembrar aqui rapidinho como é:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Pelo valor de L , teremos:

s e   0 ≤ L < 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e

s e   L > 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   d i v e r g e

s e   L = 0   ,   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Show, vamos pro exercício agora:

∑ n = 1 ∞ n 2 n n + 1 ! n ! 3 n

Vamos assumir que

a n = n 2 n n + 1 ! n ! 3 n

Logo:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 n + 1 n + 2 ! ( n + 1 ) ! 3 n + 1 n 2 n n + 1 ! n ! 3 n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 n + 1 n + 2 ! ( n + 1 ) ! 3 n + 1 × n ! 3 n n 2 n n + 1 !

Lembrando que

n + 2 ! = n + 2 n + 1 !

n + 1 ! = n + 1 n !

3 n + 1 = 3 n × 3

2 n + 1 = 2 n × 2

Substituindo:

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 n + 1 n + 2 ! ( n + 1 ) ! 3 n + 1 × n ! 3 n n 2 n n + 1 ! = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 n + 1 n + 2 n + 1 ! n + 1 n ! 3 n × 3 × n ! 3 n n 2 n n + 1 !

Simplificando:

lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) 2 n × 2 n + 2 n + 1 ! n + 1 n ! 3 n × 3 × n ! 3 n n 2 n n + 1 ! = 2 3 lim n → ∞ ⁡ n + 2 n

Aplicando o valor que n tende:

2 3 lim n → ∞ ⁡ n + 2 n = 2 3

Portanto, podemos concluir que a nossa série converge.

Resposta

C o n v e r g e .

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