4 - Faça um esboço das trajetórias das soluções para t > 0 suficientemente grande:

c )   x ˙ = - x + 1 + t y ˙ = - y + 1 + t

Passo 1

Essas equações são equações independentes entre si, então podemos resolvê-las separadamente!

PRIMEIRA EQUAÇÃO:

x ˙ = - x + 1 + t     →

Primeiro, vamos encontrar a resposta da homogênea:

x ˙ h = - x h

Ora, essa equação dá para saber a resposta sem mesmo resolver, né? Quem é a função cuja derivada é ela mesma com o sinal trocado?

x h = c 1 e - t

Agora vamos encontrar a resposta da particular por variação de parâmetros. Se a função que a torna não homogênea é 1 + t , uma função do primeiro grau, então essa será a solução particular também, ou seja, uma função do primeiro grau:

x p = A + B t

Derivando...

x ˙ p = B

Agora substituindo na EDO...

x ˙ p = - x p + 1 + t       →

B = - A + B t + 1 + t       →

B + A + B t = 1 + t       →

Veja então que para isso ser verdadeiro...

B = 1

E

B + A = 1       →             A = 0

Então a solução geral para x será:

x = x h + x p   →

x = c 1 e - t + t

Passo 2

SEGUNDA EQUAÇÃO:

y ˙ = - y + 1 + t

POW! Essa equação é parecida com a primeira, então ela vai ter a mesma solução:

y = c 2 e - t + t

A diferença vai ser na constante c 2 já que as duas equações são independentes, c 1 e c 2 podem ser números diferentes também, saca?

Passo 3

As duas respostas em função do tempo são:

x = c 1 e - t + t

y = c 2 e - t + t

Poxa, ambas as equações, com t muito próximo do infinito, as exponenciais serão basicamente 0 , e as soluções vão tender a:

x = t

y = t

Ou seja...

y = x

Isso significa que as soluções exponenciais de diferentes de diferentes formas, mas todas as elas tende a mesma reta final y = x (assíntota) saca?

Resposta

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